),Het lijkt allemaal akeliger dan het is. Als voorbereidend werk, bepalen we eerst de afgeleide van
$$g(x) = \ln{\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)}$$Dat geeft met de kettingregel:
$$g'(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)'$$Ik veronderstel dat je de afgeleide van de breuk kan vinden met de quotiëntregel, dat levert:
$$g'(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}\frac{1+\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}$$Na schrappen is dat dus een erg eenvoudige afgeleide.
Om de notaties te vereenvoudigen zal ik $g(x)$ gebruiken voor het stuk functie zoals hierboven afgesproken. Voor de eerste afgeleide geldt dan:
$$\left( \cos x \cdot g(x) \right)' = -\sin x \cdot g(x) + \cos x \cdot g'(x)$$Maar met de hierboven gevonden $g'(x)$ is die tweede term gewoon 1! De eerste afgeleide is dus
$$-\sin x \cdot g(x)+1 = -\sin x \cdot \ln{\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)}+1$$Verder voor de tweede afgeleide:
$$\left( -\sin x \cdot g(x) +1\right)' = -\cos x \cdot g(x) -\sin x \cdot g'(x) = -\cos x \cdot g(x) -\tan x$$Dat betekent dat $y+y''$ gelijk is aan
$$\cos x \cdot g(x) -\cos x \cdot g(x) -\tan x = -\tan x$$en dan volgt uit de vergelijking
$$y+y'' = a\cdot \tan x \Leftrightarrow -\tan x = a\cdot \tan x$$onmiddellijk $a=-1$.
Duidelijk zo?
mvg,
Tom
td
14-5-2015