WisFaq!

Sommatie

Hallo,

Ik heb op het internet een som gevonden, zelf kom ik er niet uit. Ik heb wel het antwoord. Maar kan iemand de berekening hiervan uitleggen. Dit zal mij namelijk erg helpen met mijn proefwerk.

- Alvast bedankt voor de moeite!

$\sum$ (tot 6 & k=0) sin(k$\pi$/6) = 2+ √3

Simon
11-5-2015

Antwoord

Beste Simon,

Je wilt dus weten waarom $\sum\limits_{k=0}^6 \sin(\frac{k \cdot \pi}{6}) = 2 + \sqrt{3}$?
Eerst moet je je realiseren dat de som gelijk is aan $\sin(0) + \sin(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{2}{3}\pi) + \sin(\frac{5}{6}\pi) + \sin(\pi)$.

Het is handig als je weet dat $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ en $\sin(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ en $\sin(0) = \sin(\pi) = 0$ en $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Je kunt dit verifiėren door een gelijkzijdige driehoek met zijdelengte 1 te tekenen, en een loodlijn uit de top op de basis te tekenen. Je weet dat 30° overeenkomt met $\frac{\pi}{6}$ radialen, en 60° met $\frac{\pi}{3}$ radialen. En je gebruikt de formules voor de sinus in een rechthoekige driehoek (je weet wel de 'SOS' van het ezelsbruggetje SOS, CAS, TOA?).

Als je nu een eenheidscirkel tekent (waarvan de straal dus 1 is, en het middelpunt O(0,0)), en de bijbehorende hoeken, dan is de sinus van deze hoeken gelijk aan de loodrechte projectie op de y-as (dus de afstand van de oorsprong tot aan de projectie op de y-as is de sinus van deze hoek).
Het is handig om bijvoorbeeld bij hoek $\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{4}{6}\pi$ je te realiseren dat dit overeenkomt met $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$ en dat de $\cos(\frac{\pi}{6}) = \sin (\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{2}{3}\pi)$.
Evenzo is $\sin(\frac{5}{6}\pi) = \sin(\frac{\pi}{6})$.

De som zou gelijk moeten zijn aan 0 + ¹/₂ + ¹/₂·$\sqrt{3}$ + 1 + ¹/₂·$\sqrt{3}$ + ¹/₂ + 0 = 2 + $\sqrt{3}$.

Mocht je nog vragen hebben, hoor ik het graag.

Groetjes,

Davy

Davy
11-5-2015