WisFaq!

Formule uit de Fibonacci-rij bewijzen

Ik moet de volgende formule uit de Fibonacci-rij bewijzen:

F(n-1)·F(n+1) - (F(n))² = -1 voor n = oneven
F(n-1)·F(n+1) - (F(n))² = 1 voor n = even

Ik heb het al geprobeerd met de formule van Binet maar begrijp deze niet helemaal. Is het mogelijk om het op een andere manier te bewijzen, zonder de formule van Binet te gebruiken? Ik heb hier ook al vroegere vragen gelezen maar dat heeft me niet echt geholpen.
Alvast bedankt
Acant

acant
7-3-2015

Antwoord

Dat gaat handig met volledige inductie!

$
\eqalign{
& E(n):F_{n - 1} \cdot F_{n + 1} - \left( {F_n } \right)^2 = \left( { - 1} \right)^n \cr
& Neem\,\,n = 2: \cr
& F_1 \cdot F_3 - \left( {F_2 } \right)^2 = \left( { - 1} \right)^2 \Rightarrow 1 \cdot 2 - 1^2 = 1 \to Klopt! \cr
& Neem\,\,aan\,\,E(n)\,\,is\,\,waar\,\,voor\,\,n \cr
& Is\,\,E(n + 1)\,\,dan\,\,ook\,\,waar? \cr
& F_n \cdot F_{n + 2} - \left( {F_{n + 1} } \right)^2 = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& F_n \cdot \left( {F_{n + 1} + F_n } \right) - \left( {F_n + F_{n - 1} } \right)^2 = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& F_n \cdot F_{n + 1} + F_n ^2 - \left( {F_n ^2 + 2F_n \cdot F_{n - 1} + F_{n - 1} ^2 } \right) = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& F_n \cdot F_{n + 1} + F_n ^2 - F_n ^2 - 2F_n \cdot F_{n - 1} - F_{n - 1} ^2 = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& F_n \cdot F_{n + 1} - 2F_n \cdot F_{n - 1} - F_{n - 1} ^2 = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& F_n \cdot \left( {F_n + F_{n - 1} } \right) - 2F_n \cdot F_{n - 1} - F_{n - 1} ^2 = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& F_n ^2 - F_n \cdot F_{n - 1} - F_{n - 1} ^2 = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& F_n ^2 - F_{n - 1} \left( {F_n + F_{n - 1} } \right) = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& F_n ^2 - F_{n - 1} \cdot F_{n + 1} = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& - \left( { - 1} \right)^n = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \cr
& Klopt! \cr}
$

Helpt dat?

WvR
7-3-2015