WisFaq!

Re: Dynamica: inverse functie integreren

Bedankt voor het antwoord!
Ik begrijp uw uitwerking.
Eerst primitiveren, daaruit volgt:
z = -ln (0,001v²+9,81)+C

Nu wordt terug gedifferentieerd. Ik zie dat het doel daarvan is om weer op de oorspronkelijke functie te komen.

Toch heb ik nog twee vragen:
Waarom is slechts primitiveren, zodat ik op
z = -ln (0,001v²+9,81)+C uitkom niet voldoende? Bij andere functies is deze stap niet noodzakelijk om tot het antwoord te komen.

- Hoe kan ik aan de functie zien dat er weer terug gedifferentieerd moet worden?

Nu zijn de stappen:
1. primitiveren
2. differentiëren primitieve en kettingregel toepassen
3. compensatie factor aanbrengen (500)

Dit terug differentiëren komt niet vaak voor in de Dynamica opgaven die ik gebruik, hierdoor herken ik het niet. Bij wiskunde moest het ook wel eens kan ik me herinneren (omgekeerde kettingregel?). Toch wil ik het wel graag weten, omdat het wel handig is om dit soort problemen op te lossen. Ook in de praktijk.

Tot zo ver bedankt.

Klaas
2-3-2015

Antwoord

Hallo Klaas,

Het is zeer terecht dat je zoekt naar een meer fundamentele wijze van primitiveren. Het terugdifferentiëren is wel een krachtig middel om je primitieve te controleren: wanneer je bij terugdifferentiëren niet uitkomt op je oorspronkelijke functie, dan heb je ergens een fout gemaakt. Deze controle is zeker aan te raden wanneer je twijfelt aan de gevonden primitieve.

Als je geluk hebt, dan scheelt het slechts een vermenigvuldigingsfactor (zoals bij jouw opgave) en kan je de fout snel 'repareren'. Maar in andere gevallen heb je niet zo veel aan deze houtje-touwtje-methode en moet je het vraagstuk wat formeler aanpakken.

Ik zou jouw vraagstuk als volgt aanpakken:

Eerst maar eens wat eenvoudiger schrijven (niet noodzakelijk, maar ik vind het prettiger lezen):



Jij ziet hierin de standaard-integraal van 1/x. Ik zie dit niet: de variabele v staat ook in de teller, en kwadratisch in de noemer. De vorm is dus eerder x/(x²+C). Deze staat niet in mijn lijstje van standaard-integralen.

Om deze integraal aan te pakken, gebruik je de substitutiemethode:

Stel u = v². Dan is:



Invullen in je vergelijking levert:



Dan gaan we integreren:



Dit is wel een standaard-integraal:



We hadden gesteld: u = v². Dit vullen we weer in:



Hiermee hebben we onze primitieve gevonden.

OK zo?

GHvD
2-3-2015