WisFaq!

Dynamica: inverse functie integreren

Voor een tweedejaarsvak van mijn opleiding Werktuigbouwkunde op HBO-niveau ben ik bezig met kinetica (een tak van Dynamica).
Nu moet ik een functie voor de afstand bepalen a.d.h.v. de vergelijking a·ds = v·dv (dit is een standaardfunctie die gebruikt wordt wanneer de versnelling of snelheid uitgedrukt zijn in respectievelijk de snelheid of versnelling).

1. Herschrijven a·ds = v·dv
Na herschrijven volgt: ds = (v·dv)/a, dit specialiseren maakt dz = (v·dv)/a (1)

2. Integreren (1) om z(v) (z als functie van v) te schrijven.
Dus: $\int{}$dz = -$\int{}$ (v·dv)/(0,001v²+9,81) met: ondergrens 0, bovengrens z voor eerste integraal teken en ondergrens 50 en bovengrens 0 voor het tweede integraal teken.

Nu zie ik aan bovenstaande functie duidelijk de standaard integraal 1/x wat na integreren als antwoord geeft ln|x|, dus voor mijn functie geldt dan ln |0,001v²+9,81|.
Dit is volgens het boek niet het juiste antwoord, het moet zijn: z = -500 ln (v²+9810).

Welke regel ontgaat mij bij het integreren van de functie?
Hopelijk kunt u mij hiermee helpen. Ik ben erg benieuwd, odmat ik wel eens wil weten hoe ik aan dit soort functies kan zien welke regel ik moet gebruiken. Dank u wel.

Klaas de Jong
27-2-2015

Antwoord

Hallo Klaas,

Alhoewel je dit niet aangeeft, vermoed ik dat als extra gegeven bekend is:

a = -(0,001v² + 9,81)

Dan moet je inderdaad oplossen:

z = -$\int{}$(v×dv)/(0,001v²+9,81)

Jouw primitieve kan niet kloppen, wat je eenvoudig ziet door deze weer 'terug te differentiëren'. Je moet dan op je oorspronkelijke functie terugkomen, dit is niet het geval:

Als:



dan geldt:



Deze afgeleide is een factor 500 te klein. Om dit goed te maken, moet je je primitive dus met 500 vermenigvuldigen:



De oplossing volgens het boek komt op hetzelfde neer. Het argument van de logaritme is vermenigvuldigd met 1000, dit betekent dat bij de gehele functie een constante wordt opgeteld, volgens deze rekenregel:

ln(a×1000) = ln(a) + ln(1000) = ln(a) + constante.

Deze constante kan worden opgenomen in de integratieconstante C. De waarde van deze C volgt uit de randvoorwaarden van het rekenprobleem.

GHvD
28-2-2015