WisFaq!

Als de tan van een hoek bekend is zonder rekenmachine of tabel de bijbehorende

Ik wil graag ontdekken hoe de tabel is ontstaan die het verband tussen de tangens van een hoek en het aantal graden van een hoek weergeeft.
Het zou door metingen gedaan kunnen zijn, maar ik hoop dat er ook berekeningen achter zitten.

G. Van Winkoop
23-2-2015

Antwoord

In het begin voornamelijk door hoekhalvering en, dus, met gebruik van de formules
$$
\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1
$$
en
$$
\sin2\alpha=2\sin\alpha\,\cos\alpha
$$
Beginnend met $\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac12\sqrt2$ (en ook met $\cos60^\circ=\frac12$ en $\sin60^\circ=\frac12\sqrt3$) kun je zo van heel wat hoeken de sinus, cosinus en dus ook tangens bepalen. Hierbij moet je heel vaak worteltrekken en daar is een redelijk eenvoudig algoritme voor, ofschoon dat voor veel decimalen wel veel werk kost.
In de praktijk zou je, bijvoorbeeld, uitgaande van $\alpha=45^\circ$ eerst de cosinus en sinus van $\frac12\alpha$, $\frac14\alpha$, ..., $\frac1{64}\alpha$ bepalen. Vervolgens door middel van optelformules die van alle hoeken van de vorm $\frac k{64}\alpha$ (met $k\le64$) en ten slotte met behulp van die waarden en interpolatie de tabel voor hele graden opstellen.

kphart
23-2-2015