WisFaq!

Re: Inversie en orthogonaal snijdende cirkels

Noem H de loodrechte projectie van P op de rechte MM'
In driehoek MO'P geldt:
PM² = MO'² + O'P² ± 2 MO'*O'H (1)
In driehoek M'O'P geldt:
PM'² = M'O'² + O'P² ± 2 M'O'*O'H (2)

(Als de hoek die tegenover PM resp. PM' ligt scherp is dan moet het min-teken worden gebruikt!)

Men stelt vast dat de lijnstukken MO', M'O' en O'P allemaal vaste lijnstukken zijn, die vrij makkelijk te berekenen zijn.
Alleen het lijnstuk O'H varieert afhankelijk van de positie van P op de inversiecirkel (C).
Als ik nu de verhouding neem van PM²/PM'² (3)
dan wordt het rechterlid van (3) opgebouwd met de rechterleden van (1) en (2), waarin alle componenten constant zijn, BEHALVE het lijnstuk O'H. En hier loopt mijn poging vast....

VRAGEN: 1°/ Hoe slaag je er nu in het variabele stuk O'H te elimineren uit het rechterlid van (3)
2°/ Indien de vorige eliminatie niet zou kunnen of veel te omslachtig is, had ik graag een tip waarmee toch kan worden aangetoond, dat de verhouding PM/PM' constant is.
Bedankt voor uw tussenkomst!

Yves De Racker
16-2-2015

Antwoord

Ik zou $O'H$ vervangen door $O'P\cdot\cos\theta$, met $\theta$ de hoek tussen $O'M$ en $O'P$, en verder zou ik nog gebruiken dat $O'M\cdot O'M'=(O'P)^2$. Als je dat invult en uitwerkt zul je vinden dat $(PM')^2=\frac{(O'P)^2}{(O'M)^2}\cdot PM^2$.

kphart
17-2-2015