WisFaq!

Limieten met exp en ln

Hallo wisfaq,

Ik wil graag de volgende limiet bepalen als x naar oneindig gaat

lim [x³ + lnx + e^(-x)]/[cos(x) + wortel(x²+x)]
x-$>$oneindig

door o.a. gebruik te maken van de volgende groeieigenschap van de ln

lim ln(x)/(x^a) = 0
x-$>$oneindig

Om de limiet te bepalen deel ik deel eerst alle termen in de teller en noemer door x²

lim [3/x² + ln(x)/x² + e^(-x)/x²]/[cos(x)/x² + wortel(1+(1/x))]

lim 3/x² = 0

lim ln(x)/x² = 0 wegens de eigenschap

lim e^(-x)/x² = 0

Maar ik weet niet precies wat ik moet doen met

lim cos(x)/x² want cos(x) neemt waarden aan tussen -1 en 1 maar de noemer gaat naar oneindig, dus eigelijk hebben we lim cos(x)/x² = +/-constante / oneindig = 0. Is dit juist?

lim wortel(1+(1/x)) = 1.

Dus de limiet gaat naar 0.

Groeten,

Viky

viky
12-2-2015

Antwoord

Er geldt
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{\cos x}{x^2}=0
$$
wegens de insluitstelling, want
$$
-\frac1{x^2}\le\frac{\cos x}{x^2}\le\frac1{x^2}
$$
voor alle $x$.

Overigens: de `sterkste' in de noemer is $x$, want er staat $\sqrt{x^2+x}$; je zou teller en noemer dus door $x$ moeten delen.

En ook: het lijkt me dat $x^3/x^2=x$ (en $x^3/x=x^2$) dat suggereert dat de limiet gelijk is aan $\infty$.

Er geldt $x^3+\ln x+e^{-x}\ge x^3$ als $x\ge 1$ en $\sqrt{x^2+x}+\cos x\le\sqrt{2x^2}+1\le3x$ als $x\ge1$; je breuk is dus groter dan of gelijk aan $x^3/(3x)=x^2/3$, de limiet is dus inderdaad $\infty$.

kphart
12-2-2015