WisFaq!

Primitiveren van e-macht

Hoi,

Bij een opdracht moet ik de functie: f(x)=e^-3x+5 primitiveren.

Een basisregel is: f(x)=e^x $\to$ F(x)=e^x + C

Alleen snap ik het niet hoe ik het dan moet doen bij e^-3x+5.
Het antwoord is namelijk F(x) = -¹/₃e^-3x+5 + C.

Ik snap niet hoe ze aan de -¹/₃ komen en waarom.

Groetjes en alvast bedankt voor het lezen!
Alex.

Alex
31-12-2014

Antwoord

Als je wilt controleren of $F$ nu voldoet kun je $F$ differentiëren:

$
\eqalign{
& F(x) = - \frac{1}
{3}e^{ - 3x + 5} + C \cr
& f(x) = - \frac{1}
{3}e^{ - 3x + 5} \cdot - 3 = e^{ - 3x + 5} \cr}
$

Vanwege de kettingregel dus!

Formeel?!

$
\eqalign{
& \int {e^{ - 3x + 5} dx} = \cr
& \int { - \frac{1}
{3}e^{ - 3x + 5} \cdot - 3\,dx} = \cr
& \int { - \frac{1}
{3}e^{ - 3x + 5} \cdot d( - 3x + 5)} = \cr
& Neem\,\,u = - 3x + 5 \cr
& \int { - \frac{1}
{3}e^u \cdot du} = \cr
& - \frac{1}
{3}e^u + C = \cr
& - \frac{1}
{3}e^{ - 3x + 5} + C \cr}
$

Zie substitutiemethode

Gebruik je de ik-doe-maar-wat-methode dan krijg je zoiets als:

De primitieve van $
f(x) = e^{ - 3x + 5}
$ zal wel zoiets worden als $
F(x) = ...e^{ - 3x + 5} + C
$. Maar als ik daar de afgeleide van neem dan krijg ik $
f(x) = - 3e^{ - 3x + 5}
$. Dat klopt wel op die factor -3 na. Als ik de hele zaak met $-\frac{1}{3}$ vermenigvuldig dan komt het wel goed... dus een primitieve is:

$
F(x) = - \frac{1}
{3}e^{ - 3x + 5}
$

Dat kan ook. Wat jij wilt...

WvR
31-12-2014