WisFaq!

Steekproefgemiddelde en populatiegemiddelde

Op een toets kreeg ik onderstaande vraag:

U wilt een inschatting maken van de gemiddelde huurprijs van winkels. De standdaarddeviatie bedraagt € 40,- per m² vvo. Er heeft een steekproef plaatsgehad van 35 objecten met een gemiddelde huurprijs van € 750,- per m² per jaar.

a)
Bereken het 95 % betrouwbaarheidsinterval van het steekproefgemiddelde als schatting voor het populatiegemiddelde:

b)
Makelaar B wil de gemiddelde huurprijs inschatten op basis van een 95 % betrouwbaarheidsinterval waarbij een afwijking ten opzichte van het gemiddelde (mu) van plus 10 of min 10 is toegestaan. Verder is reeds bekend dat de SD € 40,-- per m² bedraagt.
Welke minimale steekproefomvang dient makelaar B te hanteren?

c)
Toon aan dat het betrouwbaarheidsinterval smaller wordt bij grotere steekproeven:

Wie kan mij hier verder mee helpen, cq. een toelichting op geven.

Bij voorbaat dank.

Groet,

Hans

Hans
11-12-2014

Antwoord

Hallo Hans,

Vraag a:
De huurprijs noem ik X. Deze huurprijs heef een standaarddeviatie van € 40,-:

$\sigma$(X) = 40

Wanneer we dan steekproeven nemen van n waarnemeningen, dan geldt voor de standaardafwijking van deze gemiddelde waarde van deze steekproeven:

$\sigma$(X_gem) = $\sigma$(X)/√n

In dit geval dus:

$\sigma$(X_gem) = 40/√35 $\approx$ 6,76

Dit is de √n-wet.

Het 95% betrouwbaarheidsinterval van het steekproefgemiddelde is het interval van een normaalverdeling met $\mu$=750 en $\sigma$=6,76 waartussen je 95% van de waarnemingen vindt (dus het oppervlak onder de normaalcurve is 0,95). Dit bereken je met een grafische rekenmachine, of een hulpje als dit:

Met enig proberen vind je:

P(736.75 $<$ x $<$ 763.25) = 0.95

Vraag b:
Deze pak je op dezelfde manier aan, alleen is n nu de onbekende en zijn de grenzen bekend:

740 $<$ x $<$ 760

Je vindt:

$\sigma$(Xgem) = 5.1 = 40/√n

n = 62 (op gehelen afgerond).

Vraag c:
Aan de formule:

$\sigma$(X_gem) = $\sigma$(X)/√n

kan je zien dat $\sigma$(X_gem) kleiner wordt bij grotere n. De noormaalcurve wordt 'smaller', daarmee wordt het gebied waarbinnen 95% van de waarnemingen valt kleiner.

GHvD
11-12-2014