WisFaq!

De Z-transformatie

Beste wisfaq,

Ik wil de functie bepalen die hoort bij de Z-transformatie

(1/z)*z/(z-1)

z/z-1 is de Z-transformatie van 1, dus z/z-1 ~ Z({1})

Ik kan nu schrijven

(1/z)*z/(z-1) ~ (1/z) Z({1})

en de laatste uidrukking is gelijk aan

Z({0 als n=0, 1 voor alle andere n}) (*)

Ik begrijp deze laatste stap die leidt tot (*) niet helemaal. Ik denk dat hier de volgende regel wordt gebruikt

a(n-k) voor k$\ge$1 en a(-1)=...=a(-k)=0 ~ z^(-k)A(z)

Ik begrijp niet hoe je deze regel moet toepassen. In dit geval hebben we dat k=1 en A(z)=z/(z-1). Met wat correspondeert a(n-1)?

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
8-12-2014

Antwoord

Ik denk dat je het probleem ingewikkelder maakt dan het is.
Dat $\frac{z}{z-1}$ bij `de functie $1$' hoort klpt niet geheel; het moet de functie $a(n)$ zijn die $0$ is als $n $<$ 0$ en $1$ als $n\ge0$, immers
$$
\frac{z}{z-1}=\frac1{1-\frac1z}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac1z\right)^n
$$
Je kunt voor je functie inderdaad gebruik maken van de schuifformule: bij $\frac1z\cdot\frac{z}{z-1}$ hoort de rij $b(n)$ gedefinieerd door $b(n)=a(n-1)$, dus $b(n)=0$ als $n $<$ 1$ en $b(n)=1$ als $n\ge1$.
Je kunt ook opmerken dat
$$
\frac1z\cdot \frac{z}{z-1}=\frac1z\sum_{n=0}^\infty \left(\frac1z\right)^n = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac1z\right)^{n+1}=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1z\right)^n
$$
en daaruit kun je $b(n)$ ook aflezen.

kphart
9-12-2014