WisFaq!

Re: Inversie

Kan iemand mij helpen om dit te bewijzen met inversie?

Corrie
7-12-2014

Antwoord

Beste Corrie,
De 2e vraag is keurig bewezen op:

• Het raakprobleem van Apollonius (2)

Zie aldaar ook S201.

De 1e vraag:
Construeer een cirkel door gegeven punt M die twee gegeven cirkels c₁ en c₂ loodrecht snijdt.
De straal van c₁ noem ik r en het middelpunt C.
De gegeven constructie begint met het construeren van M', de inverse van M in c₁.
(Dat kan door R, het raakpunt van de raaklijn uit M op c₁ loodrecht te projecteren op MC)

De middelloodlijn van M en M' is de meetkundige plaats van alle punten die middelpunt zijn van een cirkel door M loodrecht op C. (Dus ook de lijn door het midden van MR loodrecht op MC (C= middelpunt van cirkel c₁)

Bewijs:
Bekijk de cirkel met MR als middellijn. (R is raakpunt van de raaklijn uit M aan c₁. )
Daar geldt: CR²=r²=CM·CM'. (want CR is raaklijn van bedoelde cirkel met MR als middellijn).
Kies nu een willekeurig punt P op de middelloodlijn van MM'. Teken de cirkel met P als middelpunt door M. Deze snijd c₁ in een punt S.Maar omdat we hadden gevonden dat CM·CM'=r² en CS=r, moet ook gelden dat CS raaklijn is aan de cirkel met P als middelpunt door M. Gevolg: Die cirkel staat loodrecht op c₁. (q.e.d.)

Een zelfde constructie met c₂ geeft het bedoelde middelpunt van een cirkel die c₁ en c₂ loodrecht snijdt.
Als je nog vragen hebt, laat maar horen.

Succes,
Lieke.

ldr
15-12-2014