WisFaq!

Driehoek van Morley

In het boek van O.Bottema
Wat bedoelen ze met:
Zijn alfa, beta en gamma drie van de tevoren gegeven hoeken die samen 60 graden zijn.
En hoe komen ze dan vervolgens bij x=60-alfa...

Dit staat bij punt 3 onderaan blz. 43. Kunt u ons hier mee helpen?

A&B
23-11-2014

Antwoord

Lees de eerste alinea van 3 nog eens goed: het bewijs is er een door omkering, Bottema bouwt om de gelijkzijdige driehoek $DEF$ een driehoek met gegeven hoeken $\alpha$, $\beta$ en $\gamma$ waarvan $DEF$ de Morley-driehoek is.

Kijk bij het lezen van de tweede alinea ook naar de figuur op bladzijde 44 want daar kun je de constructie mooi volgen. Uitgaande van $DEF$ wordt de zeshoek $AZBXCY$ gebouwd en in de figuur zijn de hoeken bij $A$, $B$ en $C$ in drieën gedeeld. Wat nu nog gedaan moet worden is de hoeken bij $X$, $Y$ en $Z$ gestrekt maken en zorgen dat de hoeken bij $A$, $B$ en $C$ gelijk zijn aan respectievelijk $3\alpha$, $3\beta$ en $3\gamma$. Dat gaat gebeuren bij de zin waar je naar vraagt: als je, gegeven $\alpha$, $\beta$ en $\gamma$, de punten $P$, $Q$ en $R$ zo kiest dat $x$, $y$ en $z$ aan de eisen voldoen dan lukt dit allemaal.

kphart
23-11-2014