WisFaq!

Re: Re: Kegelsnede

Ja, hoor. Op een parabool P: y₂=2px neemt men een willekeurig punt
D(x,y)= 0. de rechte DO snijdt de richtlijn in R. de rechte die D met het brandpunt verbindt, snijdt de parabool P een tweedekeer in S. Bewijs dat RS evenwijdig is met de as van de parabool.

Dan werd er gezegd op dit forum om dit te doen:
Bij een parabool met vergelijking y₂=2px hoort een richtlijn met vergelijking x=-p/2 en een brandpunt F(p/2,0)
Neem het punt D op de positieve tak van de parabool, dus
co(D)=(a,√(2pa))
Stel de vergelijking op van de rechte DO en zoek het snijpunt R met de richtlijn.
Stel de vergelijking op van de rechte DF en zoek het snijpunt S met de negatieve tak van de parabool : y=-√(2px).
Je zult dan zien dat de y-waarden van R en S gelijk, dus RS is een horizontale rechte, en dus evenwijdig met de as van de parabool (x-as)
Maar ik kom dus bij dat laatste stelsel nogal bizarre uitkomsten uit...

Julie
15-11-2014

Antwoord

Vergelijking DF : y = ^Ö(2pa)/_(2a-p).(2x-p)
Stel dit gelijk aan y = -Ö(2px)

Dus : ^Ö(2pa)/_(2a-p).(2x-p) = -Ö(2px)

Kwadrateer de 2 leden, breng alles naar het linkerlid en je bekomt de vierkantsvergelijking :

4ax² - (4a² + p²)x + ap² = 0

De discriminant is : (4a² - p²)²

Je vindt twee waarden voor x, namelijk x = a (snijpunt met positieve tak)
en x = ^p2/_4a

Bereken voor deze x-waarde het beeld van de rechte DF of van de negatieve tak van de parabool en je vindt in beide gevallen :
y = -^p/_2aÖ(2pa)

Dit is ook de y-waarde van het punt R.

Lukt het nu?

LL
15-11-2014