WisFaq!

Vaardigheden bij differentiaalvergelijkingen

Hallo,

Ik heb een vraag in het boek waar ik echt niet uitkom.
Ik heb zelf al het een en ander geprobeerd maar weet niet of dit goed is.

9 In een meertje zit 1000 m3 water. Er stroomt een beekje in, dat 10 m3 per uur aanvoert. Aan de andere kant van het meertje stroomt het water er weer uit met een gelijke hoeveelheid. Op zeker moment komt er een verontreiniging mee met het instromende water in een hoeveelheid van 5 kg per uur. De verontreiniging verdeelt zich direct gelijkmatig over het meertje en wordt afgevoerd met het uitstromende water. Stel dat x(t) de hoeveelheid verontreiniging is in het meertje op tijdstip t en dat de verontreiniging startte op t = 0.
a Stel de differentiaalvergelijking op die de verandering van de hoeveelheid verontreiniging in het meertje weergeeft.

b Bepaal de oplossing van de onder a opgestelde differentiaalvergelijking.


Bij a had ik:

Starthoeveelheid=0
x'(t)=5-x(t)/100

En dan bij b moet ik de oplossing hier van geven. Hier loopt het volgens mij al helemaal mis.

x'(t)-c·x(t)=0 met x'(t)=5 en x(t)= 1/100

x'(t)/x(t)=c --$>$ =500

Verder dan dit kom ik niet, waarschijnlijk omdat ik iets fout doe.

Sander
10-11-2014

Antwoord

Hoi Sander,

Ik ben het eens met je eerste afgeleide. Die lijkt mij goed.
Verder kom ik op de volgende oplossing, stap voor stap.


$
\begin{array}{l}
x'(t) = 5 - \frac{{x(t)}}{{100}} \\
\frac{{dx}}{{dt}} = 5 - \frac{{x(t)}}{{100}} \\
\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{500 - x(t)}}{{100}} \\
\frac{1}{{500 - x(t)}}dx = \frac{1}{{100}}dt \\
\int {\frac{1}{{500 - x(t)}}dx = \int {\frac{1}{{100}}dt} } \\
\int {\frac{1}{{500 - x(t)}}dx = \frac{1}{{100}}t + c} \\
- LN(500 - x(t)) = \frac{1}{{100}}t + c \\
500 - x(t) = e^{ - \frac{1}{{100}}t + c} \\
x(t) = 500 - e^{ - \frac{1}{{100}}t + c} \\
x(0) = 0 \Rightarrow 0 = 500 - e^c \Rightarrow e^c = 500 \Rightarrow c = LN(500) \\
x(t) = 500 - 500e^{0,01t} \\
\end{array}
$

mvg DvL

DvL
10-11-2014