WisFaq!

Ligging vectorvoorstellingen

Je moet de ligging van het vlak U: -x + 8y - 4z = 20 ten opzicht van vlakken V en W onderzoeken.
V: (x,y,z) = (2,3,2) + a(0,-1,1) + s(1,0,1)
W: (x,y,z) = (1,3,2) + v(4,1,1) + p(0,-1,-2)
(voor variabelen heb ik in dit geval de letters a, s, v en p gebruikt)

Mijn vraag is hoe je dit moet aanpakken. Hieronder staat hoe ik het aanpakte en waar ik vastliep. Ik hoop snel antwoord te kunnen krijgen.

Mijn aanpak:
V: (x,y,z) = (2,3,2) + a(0,-1,1) + s(1,0,1)
| x = 2 + s
| y = 3 - a
| z = 2 + a + s

-(2 + s) + 8(3 - a) - 4(2 + a + s) = 20

-2 - s + 24 - 8a - 8 - 4a - 4s = 20

-12a - 5s = 20 ?

W: (x,y,z) = (1,3,2) + v(4,1,1) + p(0,-1,-2)
| x = 1 + 4v
| y = 3 + v - 1p
| z = 2 + v - 2p

-(1 + 4v) + 8(3 + v - 1p) - 4(2 + v - 2p) = 20

0v + 0p = 5 ??

Kim
28-10-2014

Antwoord

Het simpelst lijkt me om van de vlakken V en W over te stappen van de gegeven vectorvoorstelling naar een vergelijking.
Zo is een vergelijking van V x - y - z = -3 en vector (1,-1,-1) is een normaalvector van het vlak.
Het gegeven vlak heeft normaalvector (1,-8,4) en dat is duidelijk geen veelvoud van (1,-1,-1).
De vlakken zijn dus niet evenwijdig en dús snijdend.
Idem voor vlak W.

Wat jij wilt, kan natuurlijk ook. Je vond -12a - 5s = 20 (maar die 20 lijkt me onjuist) en dan kun je a in s uitdrukken of s in a. Dat geeft in dit geval veel breukellende. Als je bijv. s hebt uitgedrukt in a, dan kun je in de oorspronkelijke vectorvoorstelling de s hierdoor vervangen zodat je een vectorvoorstelling van een lijn krijgt. In feite de snijlijn van de twee vlakken.

MBL
28-10-2014