WisFaq!

Raaklijn aan punt op ellips tekenen

Hoi allemaal,

Stel je hebt een richtcirkel met daarin een ellips. Op de ellips heb je een punt R waarop je een raaklijn moet construeren.
In de ellips zijn ook 2 brandpunten gegeven, F1 en F2. Dan staat er in mijn boek dat je dan de raaklijn constueert door F2 met de raakpunt te verbinden en door te trekken tot het de richtcirkel snijdt; Het snijpunt is de voetpunt. Dan verbind je de voetpunt met F1 en de middeloodlijn daarvan is de raaklijn aan punt P.

Ik snap dit methode niet echt, ik snap niet waarom je F2 met de raakpunt moet verbinden en dan moet doortrekken tot het snijdt met de richtcirkel. Het snijpunt noem je Q, en je dan middeloodlijn specifiek moet nemen van F1Q om de raaklijn aan punt P te krijgen en niet van F2Q bijvoorbeeld.

Op deze link ziet u de constructie: http://www.hhofstede.nl/modules/raaklijnellips.htm

Alvast bedankt voor het lezen.
Met vriendelijke groet,
Alex.

Alex
26-10-2014

Antwoord

Dag Alex,
In de tekening waarnaar je verwijst is P het bedoelde raakpunt, maar zolang we dat nog niet weten noemen we hem R. F₂ is het middelpunt van de richtcirkel en tevens een van de brandpunten van de ellips. F₁ is het tweede brandpunt van de ellips.

De definitie van een richtcirkel, met middelpunt F₂, dat tevens een brandpunt is van de ellips.:
1) elk punt op de ellips heeft gelijke afstand tot het tweede brandpunt, (dus hier F₁) , en de cirkel.
2) Voor elk punt R op de ellips geldt: F₁R+F₂R is constant en gelijk aan de straal van de richtcirkel.

Voor punt R geldt zo dat F₂R+F₁R=F₂R+RQ=F₂Q=straal van de cirkel.

Voor de lijn F₂R, die de cirkel snijdt in Q, geldt RF₁=RQ als R op de middelloodlijn van F₁Q ligt.
Maar omgekeerd geldt niet dat elk punt op die middelloodlijn ook op de ellips ligt.
Zij geven daar het bewijs uit het ongerijmde:
Kies een ander punt op die middelloodlijn: S.
Dan geldt F₂S+SF₁=F₂S+SQ (want SQ=SF₁).
Maar je ziet dan dat in driehoek F₂SQ geldt dat F₂S+SQ$>$F₂Q (driehoeksongelijkheid), zodat niet voldoaan is aan punt 2 van de definitie voor de richtcirkel.
Conclusie: Alleen punt R voldoet, zodat die middelloodlijn l dus een raaklijn moet zijn.

Helpt dat? Zo niet, laat maar horen.
Succes,
Lieke.

ldr
26-10-2014