In dit geval is het plan om de linker kant te gaan schrijven als één breuk en dan met kruislingsvermenigvuldigen de breuken allemaal weg te werken.
Opgave:
$\eqalign{
\frac{5}{{ - 1 + x}} + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{6}{{1 - x}}
}$
Dit kan je ook schrijven als:
$\eqalign{
\frac{5}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{ - 6}}{{x - 1}}
}$
Dat is handig want nu kan ik links en rechts vermenigvuldigen met $x-1$ zodat er van alles wegvalt:
$\eqalign{
5 + \frac{{2(x - 1)}}{{x - 2}} = - 6
}$
Dat ruimt lekker op... de rest gaat dan zo:
$
\begin{array}{l}
\frac{{2(x - 1)}}{{x - 2}} = - 11 \\
2(x - 1) = - 11x + 22 \\
2x - 2 = - 11x + 22 \\
13x = 24 \\
x = \frac{{24}}{{13}} \\
\end{array}
$
...en weer een vergelijking opgelost.
Nu had ik een beetje geluk dat er zowel links als rechts iets stond met $x-1$ in de noemer. Als dat niet het geval is dan kan je beter links en rechts proberen de zaak als één breuk te schrijven en dan kruislings te vermenigvuldigen.
$\begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
\frac{1}{{x + 1}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 2}} \cdot \frac{{x + 1}}{{x + 1}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
\frac{{x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
\frac{{x + 2 + x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
\frac{{2x + 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 3}} \\
(2x + 3)(x + 3) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) \\
\end{array}
$
Enz...
Hopelijk lukt dat zo en anders maar weer vragen!
Op Breuken vereenvoudigen met gemeenschappelijke factoren in de noemers staat nog een mooi voorbeeld.
WvR
18-10-2014