WisFaq!

Dobbelsteen en kans plek in vliegtuig

Beste,

Ik had een vraagje over een opgave.
'Chevalier de Méré legde het volgende probleem voor: “Wat is waarschijnlijker: bij vier worpen met één dobbelsteen minstens één 6 werpen, of bij 24 worpen met twee stenen minstens één dubbelzes?” Beantwoord deze vraag.'

Mijn antwoord:
1. 1/6+1/6+1/6+1/6= 4/6
2. 24·(1/6)²= 4/6

Nu is dit het antwoord:
Pr(bij vier worpen met één dobbelsteen minstens één 6 )
= 1 – Pr(bij vier worpen geen zes) = 1 – (5/6)⁴ = 0.5177
Pr(bij 24 worpen met twee dobbelstenen minstens één dubbelzes)
= 1 – Pr(bij 24 worpen met twee dobbelstenen geen dubbelzes)
= 1 –(1 – Pr(dubbelzes))24 = 1 –(1 – 1/36)²⁴ = 0.4914

Ik begrijp wel wat het antwoordmodel doet, maar ik zou er zelf nooit op komen. Is er ook een manier om niet met 1-niet te werken. En waarom is mijn antwoord fout? Wat ben ik nu aan het berekenen?

Ook een ander vraagje. Er zijn 5 stoelen in het vliegtuig: een rijtje van 3 en van 2 personen. Wat is de kans dat de 5 personen precies op dezelfde plek ingedeeld worden (met hun ticket) als dat ze van tevoren zelf hadden afgesproken?

ik dacht: 5 plekken 5 personen: 5⁵? en dan 1/3125

Groetjes,

Emma

Emma de Jong
12-10-2014

Antwoord

Beste Anna,

Wanneer je vier keer met een dobbelsteen gooit, is de kans op een 6 (of minstens één 6) beslist niet 4 keer ¹/₆. Je kunt gemakkelijk inzien dat deze methode nooit kan kloppen: wat als je zeven keer gooit? Zou de kans op (minstens) een 6 dan 7/6 zijn? Vast niet: een kans kan nooit groter dan 1 zijn.

Hoe dan wel? Je werpt vier keer, en je kijkt naar minstens één keer 6. Er zijn vier mogelijkheden om aan deze eis te voldoen: één keer 6, of twee keer 6, of drie keer 6, of vier keer 6. Je moet dus eigenlijk vier kansberekeningen uitvoeren. Neem de uitkomsten bij elkaar en je hebt de totale kans op minstens één 6.

Maar dit kan slimmer: de enige mogelijkheid die je dan nog niet hebt bekeken, is nul keer 6. Met één berekening kan je dus de kans bepalen dat je juist niet krijgt wat je hebben wilt. De totale kans op alle mogelijke uitkomsten is altijd 1. Bereken dus de kans dat je niet krijgt wat je hebben wilt, trek dit van 1 af en je houdt over de kans dat je wel krijgt wat je hebben wilt.

Je kunt dus kiezen: bereken de vier kansen die horen bij de vier mogelijkheden waarop je minstens één 6 gooit, of bereken de enkele kans die hoort bij de enige mogelijkheid waarop je juist niet minstens één 6 gooit, en trek de uitkomst van 1 af. De tweede mogelijkheid is minder werk.

Hetzelfde geldt voor de tweede vraag: bij 24 keer gooien met twee dobbelstenen kan je op 24 manieren minstens één keer dubbelzes gooien (1 keer, 2 keer, 3 keer enz t/m 24 keer). Je zou dus 24 kansberekeningen moeten maken!

Er is maar één manier om niet minstens één keer dubbelzes te gooien: nul keer. De kans op dubbelzes is 1/36, de kans op niet-dubbelzes is dus 35/36. Je wilt de kans berekenen dat dit 24 keer achter elkaar gebeurt: de kans op 24 keer niet-dubbelzes is (35/36)²⁴.
De kans dat dit niet gebeurt (dus minstens één keer wel dubbelzes) is 1 - (35/36)²⁴.

OK zo?

Wat betreft jouw tweede vraag: De kans dat de eerste persoon op de zelf gekozen stoel wordt ingedeeld, in 1/5. Dan zijn nog 4 stoelen over, de kans dat de tweede persoon op zijn gekozen stoel wordt ingedeeld, is dan 1/4. Voor de derde persoon is de kans dan 1/3, voor de vierde persoon ¹/₂ en voor de laatste persoon is dan alleen de juiste stoel over. De kans dat dit goed gaat, is dus:
(1/5)·¹/₄·¹/₃·¹/₂·(1/1) = 1/5! = 1/120.

Een andere redenatie is: er zijn 5! mogelijke indelingen, slechts één van deze indeling komt overeen met de zelf gekozen indeling. De kans op deze indeling is dus 1/5! = 1/120.

Kan je hiermee verder?

Oh ja: je mag gerust twee vragen stellen, maar het is handiger wanneer je dan twee aparte vragen instuurt.

GHvD
12-10-2014