WisFaq!

Bewijs hoogte is gelijk aan diameter bij minimale oppervlakte bij een cilinder

Beste heer/mevrouw,

Ik zou graag willen weten waarom de hoogte gelijk is aan de diameter bij een cilinder als de oppervlakte minimaal moet zijn. De oefening die ik moest maken ging als volgt: de inhoud van de cilinder is 50cl en de totale oppervlakte moet minimaal zijn. Ik had dus de hoogte gelijk gesteld aan het dubbele van de straal en dan verder uitgewerkt. Uiteindelijk kwam ik uit op r=4,301 cm en h=8,602 cm. Mijn leerkracht zei dat er niet van mag uitgaan dat h=2r. Is het mogelijk om te bewijzen dat je er wel mag van uitgaan?

Alvast bedankt,

Sarah Petit
8-10-2014

Antwoord

Ja, de inhoud is vast: $\pi r^2h=50$, je kunt $h$ dus in $r$ uitdrukken (of omgekeerd) en dit in de formule voor de oppervlakte, $2\pi(r^2+rh)$, invullen. Je krijgt dan
$$
2\pi\left(r^2+\frac{50}{\pi r}\right)
$$
als je dat differentieert, en gelijk stelt aan nul vind je $2r=\frac{50}{\pi r^2}$ en dat is nu net weer gelijk aan $h$.

kphart
8-10-2014