WisFaq!

Sommatie

Gegeven dat $
a = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i }
$, bewijs dan dat $
\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x_i - a} \right)^2 = \frac{1}{n}} \sum\limits_{i = 1}^n {x_{_i }^2 - a^2 }
$. Geef een duidelijke verantwoording van elke stap.

Ik heb geen idee hoe ik eraan kan beginnen :(
Iemand tips?

sander
30-9-2014

Antwoord

Beste dat gaat als volgt:

\[
\begin{array}{l}
a = \frac{1}{n}\sum\limits_1^n {x_i } \Rightarrow \frac{1}{n}\sum\limits_1^n {(x_i } - a)^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_1^n {(x^2 _i } - 2ax_i + a^2 ) \\
\frac{1}{n}\sum\limits_1^n {(x^2 _i } - 2ax_i + a^2 ) = \frac{1}{n}\sum\limits_1^n {(x^2 _i ) - \frac{{2a}}{n}} \sum\limits_1^n {(x_i } ) + \frac{1}{n}\sum\limits_1^n ( a^2 ) \\
\frac{1}{n}\sum\limits_1^n {(x^2 _i ) - \frac{{2a}}{n}} \sum\limits_1^n {(x_i } ) + \frac{1}{n}\sum\limits_1^n ( a^2 ) = \frac{1}{n}\sum\limits_1^n {(x^2 _i ) - \frac{{2na^2 }}{n} + \frac{1}{n}} na^2 = \\
\frac{1}{n}\sum\limits_1^n {(x^2 _i ) + \frac{1}{n}} (2na^2 - na^2 ) = \frac{1}{n}\sum\limits_1^n {(x^2 _i ) - a^2 } \\
{\rm{let op:}} \\
\sum\limits_1^n {(x_i } ) = n.a \\
\end{array}
\]
mvg Dennis.

DvL
30-9-2014