WisFaq!

Waarde van a met één oplossing

Hoe bereken je de waarden van a waarbij de vergelijking $xe^{-x+1}=ax$ precies één oplossing heeft? De antwoorden bleken $a=e$ of $a\le0$ te zijn, maar ik weet niet hoe ze eraan komen.

Sanne
25-9-2014

Antwoord

In elk geval is er, onafhankelijk van a, altijd de oplossing x = 0.
Na deze vaststelling kunnen we delen door x en houden we de vergelijking e^{-x + 1} = a over.
Omdat je maar 1 oplossing wilt hebben (en je hebt er al één !) mag de vergelijking die je na de deling overhield géén nieuwe oplossing(en) opleveren.
Daar de e-macht uitsluitend (alle) positieve waarden kan aannemen, zal je bij a $\le$ 0 dus nooit oplossingen vinden. Kortom, dan blijft het bij x = 0.
Er zit nog 1 addertje onder het gras.
Als die e-machtvergelijking toevallig óók x = 0 als oplossing heeft, dan heb je weliswaar twee keer dezelfde oplossing x = 0 maar dat komt toch neer op het hebben van één oplossing.
Voor welke a heeft die e-machtvergelijking nou de oplossing x = 0?
Vul x = 0 in en je vindt direct dat a = 1

MBL
25-9-2014