WisFaq!

Re: Een algebra over een lichaam

Beste kphart,

Heel erg bedankt voor uw antwoord. Ik heb het bewijs voor A opgeschreven. Ik ben nu alleen in de war met k en n.

k=dimA en

n=aantal elementen in L.

Dus V=A en F=L.

Het is gegeven dat L n elementen heeft.

Ik moet bewijzen dat |A|=n^dim(A).

Bewijs voor a
Zij A(=V) een vectorruimte over een lichaam L(=F).
Zij B een basis van vectoren voor A;
B=(v1,v2,...,vk). Dus dimA=k.

Dan bestaat er een isomorfisme tussen L^k en A. Deze is als volgt gedefinieerd

f: L^k - A

f(v1,...,vk)=SOM[civi](i=1 t/m k)

Dus ieder element x in L kan geschreven worden als een lineaire combinatie van de basiselementen met coefficienten in L^k;

er bestaan dus v1,..vk, in L^k zodat x=c1v1+...+ckvk.

Idere ci kan k verschillende waarden aannemen.

Omdat we lineare combinaties over een basis beschouwen , zijn al deze k elementen verschillend.

Per definitie van een basis kan elk element van L gerepresenteerd worden als een lineare combinatie. Dus

|A|=n^dimA=n^k.

QED
Is dit helemaal correct?

Groeten,

Viky

viky
19-9-2014

Antwoord

Je moet wel de $c_i$ en de $v_i$ uit elkaar houden: je basis $\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\}$ is vast; de afbeelding is dan gedefinieerd door $f(c_1,\ldots,c_k)=\sum_{i=1}^kc_i \mathbf{v}_i$, je $c_i$ komen dus uit $L$.
Iedere $c_i$ kan $n$ verschillende waarden aannemen (want $|L|=n$).
De afbeelding $f$ is injectief omdat $\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\}$ lineair onafhankelijk is, en surjectief omdat $\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\}$ de ruimte $A$ opspant.
Aan het eind zou ik schrijven: $|A|=|L^k|=n^k$.

kphart
22-9-2014