WisFaq!

Een algebra over een lichaam

Beste wisfaq,

Zij L een eindig lichaam met n elementen. Ik wil graag het volgende bewijzen

(a) Laat zien dat als A een L-algebra is met eindig veel elementen (m), dan is het aantal elementen in A een macht van n.

(b) Laat zien dat n een macht is van een priemgetal.

Ik heb voor onderdeel b het volgende bewijs. Ik heb hiervoor onderdeel a niet gebruikt.
bewijs(b)
Ik bewijs hier het volgende
Laat L een lichaam zijn met kar(L)=p. Dan bestaat er een geheel getal n$\ge$1 zodat |L|=p^n.
Bewijs
Beschouw L als een vectorruimte over Fp(eindig lichaam met p elementen). Zij dim_(Fp)(L:Fp)=n en zij B={b1,b2,...,bn} een basis.
Dan kan ieder element a in L geschreven worden als een linear combinatie van de basiselementen met coefficienten in Fp. Dus er bestaan c1,..,cn in Fp zodat a=c1b1+...+cnbn.

Iedere ci kan p verschillende waarden hebben. Omdat we lineaire combinaties over een basis zijn al deze p elementen in L verschillend. Per definitie van een basis kan elk element van K gerepresenteerd worden als een lineaire combinatie. Dus |K|=p.qed

In onderdeel b moet ik bewijzen dat |A|=n^m.

Een algebra is een vectorruimte A over een lichaam L uitgerust met scalaire vermenigvuldiging. AxA-$>$ is een bilineaire operator. De vermenigvuldiging is associatief en er geldt dat a(xy)=(ax)y=x(ay) met a in L en x, y in A.

Ik kijk naar deze definitie en naar het bewijs voor a, maar ik begrijp niet hoe ik b bewijzen kan. Volgens mij is het bewijs bijna identiek aan het bewijs voor a. Mijn ruimte A is een vectorruimte A over een lichaam L en heeft een eindig aantal elementen m. Ik heb een basis B. Ben ik op de goede weg?

Vriendelijke groeten,

Viktoria

viky
16-9-2014

Antwoord

Je bent op de goede weg, alleen ga je wat warrig met je variabelen om: gegeven is: $L$ heeft $n$ elementen; dan kun je die $n$ niet meer gebruiken in een gelijkheid als $|L|=p^n$. Bij $A$ doe je hetzelfde: eerst $|A|=M$ en dat weer $|A|=n^m$.
Je kunt je bewijs twee keer gebruiken, een keer voor $|A|$ en een keer voor $|L|$. Immers, je bewijst in feite het volgende: als $V$ een vectorruimte is over een lichaam $F$ en $\dim V=k$ dan is er een bijectie (zelfs een isomorfisme) tussen $F^k$ en $V$. Neem een basis $\{v_1,\ldots,v_k\}$ voor $V$ en definieer $f:F^k\to V$ door $f(c_1,\ldots,c_k)=\sum_{i=1}^k c_iv_i$. Je hebt in feite bewezen dat $f$ een bijectie is.
Nu kun je twee keer gebruiken:
eerst met $V=A$ en $F=L$, dan volgt $|A|=n^{\dim A}$;
vervolgens met $V=L$ en $F=F_p$, waarbij $p$ de karakteristiek van $L$ is, dan volgt $|L|=p^{\dim L}$.
Overigens: $L$ is een algebra over $F_p$, dus b) is een speciaal geval van a).

kphart
17-9-2014