WisFaq!

Vergelijking van een rechte

geef een stel parametervergelijkingen van de volgende rechte:

a:
|2x-3y+5=0
|3x-y+z-9=0

(mbv richtingsvector,...)

sarah terras
9-2-2003

Antwoord

De twee vergelijkingen bepalen ieder een vlak in de ruimte. De snijlijn van deze 2 vlakken is dan de lijn waarvan je een parametervoorstelling zoekt.
Er zijn een paar methodes die in feite allemaal op hetzelfde neerkomen, maar de ene methode geeft soms iets sneller resultaat dan de andere.
Je zou bijv. kunnen starten met de richtingsvector van de snijlijn voor te stellen als (a , b , c).
Natuurlijk kunnen niet zowel de a als de b als de c gelijk zijn aan 0, dus laten we maar eens aannemen dat a ¹ 0.
Als zou blijken dat a nou toevallig wél 0 moet zijn, dan is dit dus een valse start, maar dan loopt de berekening vanzelf vast.
Door de kentallen van de richtvector te delen door a, bereik je dat het eerste kental gelijk wordt aan 1.
Kortom: laat de richtvector van de snijlijn gelijk zijn aan (1 , p , q)
Deze richtvector moet loodrecht staan op de twee normaalvectoren van de vlakken, dus het inwendig product moet in beide gevallen 0 zijn.
Dat geeft: 2 - 3p = 0 én 3 - p + q = 0
Hieruit volgen waarden voor p en q, dus de richtvector van de lijn heb je. Eventuele breuken kun je desgewenst weer wegvermenigvuldigen; het gaat tenslotte om de richting en niet om de lengte!
Dan moet je nog een zgn. steunvector hebben,; maar dat is niet erg ingewikkeld. Ieder punt dat zowel in het ene als in het andere vlak ligt kun je daarvoor gebruiken.
Punt (-4 , -1 , 20) zou een kandidaat kunnen zijn.
Als ik goed heb gerekend kom je nu uit op de parametervoorstelling:
(x , y , z) = (-4 , -1 , 20) + l(1 , 2/3 , -7/3)

Iets mooier gemaakt: (x,y,z) = (-4,-1,20) + t(3,2,-7)
Invulling van dit in de vergelijkingen van de twee gegeven vlakken zou twee keer een identiteit moeten opleveren.

MBL
9-2-2003