WisFaq!

Transformaties complexe functies

Kunt u mij graag de volgende bewijzen geven?

1. bij de functie f(z) = z+a+bi hoort de translatie over (a,b). Bewijs dit.

2. bij de functie f(z) = (a+bi).z met „ a+bi„ = 1 hoort de rotatie over arg(a+bi). Bewijs dit.

3. bij de functie f(z) = (a+bi).z hoort de vermenigvuldiging ten opzichte van 0 met factor „ a+bi„  gecombineerd met de rotatie over arg(a+bi). bewijs dit.

alvast bedankt.

Faiz
9-2-2003

Antwoord

a. a en b moeten wel Î zijn
stel z=x+iy
dan is z+a+ib=(a+x)+i(b+y)

waarmee z getransleerd is over a stapjes in de reele richting, en b stapjes in de complexe richting

b. stel z=r.e^if
(je mag een complex getal altijd als een complexe e-macht schrijven)
r=|z| is de 'lengte' (modus) en f het argument
stel dus ook dat je vermenigvuldigingsfactor a+ib geschreven kan worden als s.e^iq
met s=|a+ib| en q=arg(a+ib)

bij onderdeel b is je sº1
vermenigvuldiging van z met a+ib levert dus:
r.e^if.s.e^iq
= r.s.e^i(f+q)
= r.e^i(f+q)

hieruit blijkt: de lengte blijft hetzelfde, en het argument is veranderd van f in f+q

Er is dus geroteerd over hoek q en dit was per definitie het argument van (a+ib)

c. zelfde als bij b, maar nu is s i.h.a. ¹ 1
dus levert vermenigvuldiging van z en (a+ib) :
r.s.e^i(f+q)
dus de lengte is veranderd van r in r.s
en het argument van f in f+q

groeten,
martijn

mg
9-2-2003