WisFaq!

Bisectiemethode

Hoe pas ik de bisectiemethode toe op deze functie: e^x=3x voor een x die tussen het interval(0,1) ligt?

Jan
12-8-2014

Antwoord

Definieer de functie $F(x)=e^x-3x$. We gaan op zoek naar $\alpha$ zodat $F(\alpha)=0$.



$F$ is continu op $[0,1]$ en $F(0)\times F(1)\lt0$. Er is minstens één nulpunt en we veronderstellen dat er ook hoogstens één nulpunt is.

Je berekent dan $m$ = $\large\frac{a+b}{2}$ en berekent $F(m)$.

Er zijn dan drie mogelijkheden:

1. Als $F(m)=0$ dan hebben we $\alpha$ gevonden en zijn we dus klaar.
2. Als $F(a)\times F(m)\lt0$ dan neem $b=m$ en herhaal het proces.
3. Als $F(a)\times F(m)\gt0$ dan neem $a=m$ en herhaal het proces

We stoppen als $|a-b|\lt\epsilon$

Dat ziet er dan zo uit:



We noemen dit de halveringsmethode of bisectiemethode...

Naschrift

n	a	b	m	F(m)	F(a)xF(m)
0	0	1	0,5	0,148721271	0,148721271
1	0,5	1	0,75	-0,132999983	-0,019779927
2	0,5	0,75	0,625	-0,006754043	-0,00100447
3	0,5	0,625	0,5625	0,067554657	0,010046814
4	0,5625	0,625	0,59375	0,029516072	0,001993948
5	0,59375	0,625	0,609375	0,011156489	0,000329296
6	0,609375	0,625	0,6171875	0,002144652	2,39268E-05
7	0,6171875	0,625	0,62109375	-0,002318893	-4,97322E-06
8	0,6171875	0,62109375	0,619140625	-9,06632E-05	-1,94441E-07
9	0,6171875	0,619140625	0,618164063	0,00102611	2,20065E-06
10	0,618164063	0,619140625	0,618652344	0,000467502	4,79708E-07
11	0,618652344	0,619140625	0,618896484	0,000188364	8,80605E-08
12	0,618896484	0,619140625	0,619018555	4,88366E-05	9,19905E-09
13	0,619018555	0,619140625	0,61907959	-2,09168E-05	-1,0215E-09
14	0,619018555	0,61907959	0,619049072	1,3959E-05	6,81711E-10
15	0,619049072	0,61907959	0,619064331	-3,47909E-06	-4,85647E-11
16	0,619049072	0,619064331	0,619056702	5,23992E-06	7,31442E-11
17	0,619056702	0,619064331	0,619060516	8,80402E-07	4,61323E-12
18	0,619060516	0,619064331	0,619062424	-1,29935E-06	-1,14395E-12
19	0,619060516	0,619062424	0,61906147	-2,09473E-07	-1,84421E-13
20	0,619060516	0,61906147	0,619060993	3,35464E-07	2,95343E-13

Na 20 'slagen' hebben we gevonden $x\approx0,619060993$. Derive geeft als benadering $x\approx0,6190612867$, dus 't schiet al lekker op.

WvR
12-8-2014