WisFaq!

Zoek het eerlijke muntstuk van de drie

Wie kan mij helpen weet niet hoe ik er aan moet beginnen ?

Gegeven zijn 3 muntstukken die op het zicht volledig identiek zijn, maar twee van de drie zijn oneerlijk, eentje is eerlijk. Met de oneerlijke stukken is de kans om kop (=K) te gooien 0.6.

Met één muntstuk gooit men 5 keer en bekomt men KKMKM en met een ander muntstuk gooit men 3 keer en bekomt KMK. Met het derde muntstuk werpt men niet.

Welk is het muntstuk met de eerlijkste kans? Bereken hiervoor de drie kansen.

---

Dit zou het antwoord zijn.

* P( muntstuk 1 = eerlijk | worpuitkomst = KKMKM)
* P( muntstuk 2 = eerlijk | worpuitkomst = KMK)
* P( eerlijk muntstuk 3 zonder dat er geworpen wordt) = 1/3 (want er zijn 2 oneerlijke muntstukken en 1 eerlijk muntstuk)

En bij de eerste twee kansen kan je dan met de definitie van voorwaardelijke kans aan de slag. Bijvoorbeeld voor de eerste kans krijg je dan

P( m1 = eerlijk EN worp = KKMKM) / P(worp = KKMKM)

De teller schrijf je dan (met de productregel) als een product van een gewone en een voorwaardelijke kans. En de noemer wordt dan een som van 2 kansen waarbij elke kans ook een product van een gewone en een voorwaardelijke kans zal zijn.

Davy
7-8-2014

Antwoord

Beste Davy,

Deze vraag staat al een tijdje in de wacht, ik doe een poging om deze te beantwoorden.

Allereerst wil ik opmerken dat je met dit experiment de eerlijke munt niet met zekerheid kunt aanwijzen: of de eerlijke munt nu nummer 1, 2 of 3 is, in alledrie de gevallen kan je de genoemde uitkomst krijgen.
Afhankelijk van welke munt eerlijk is, kan je wel verschillende kansen verwachten op de genoemde uitkomst en daaruit afleiden welke munt met de grootste waarschijnlijkheid de eerlijke munt is.

Ik weet niet wat bedoeld wordt met 'bereken hiervoor de drie kansen', ik raad dat hiermee bedoeld wordt: 'bereken voor drie verschillende situaties de kans op de genoemde uitkomst: ervan uitgaand dat munt 1 de eerlijke munt is, vervolgens met munt 2 als eerlijke munt en met munt 3 als eerlijke munt'.

Als ik het goed heb begrepen, kan je de berekening als volgt uitvoeren:

Situatie 1: munt 1 is eerlijk:
De kans dat je bij 5 worpen precies de reeks KKMKM krijgt, is dan 0,5⁵.
Vervolgens gooi je 3 keer met een valse munt, de uitkomst is KMK. De kans op precies deze uitkomst is 0,6x0,4x0,6 = 0,6².0,4.
P(KKMKM en KMK) = 0,4x0,5⁵x0,6² = 0,00450

Situatie 2: munt 2 is eerlijk:
P(KKMKM met munt 1) = 0,4²x0,6³
P(KMK met munt 2) = 0,5³
P(KKMKM en KMK) = 0,4²x0,5³x0,6³ = 0,00432

Situatie 3: munt 3 is eerlijk:
P(KKMKM met munt 1) = 0,4²x0,6³
P(KMK met munt 2) = 0,4x0,6²
P(KKMKM en KMK) = 0,4³x0,6⁵ = 0,00498

Gegeven de uitkomsten KKMKM en KMK is het dus het meest waarschijnlijk dat munt 3 de eerlijke munt is.

GHvD
12-8-2014