WisFaq!

Eigenschap loodrechte volgens analytische meetkunde

Ik zoek een bewijs dat als 2 vectoren loodrecht op elkaar staan dat dan x₁y₁+x₂y₂ nul is. MAAR zonder gebruik te maken van dot/binnen/inner/scalair product. Ik denk trouwens dat zulks historisch de juiste volgorde is daar het scalair product veel later gedefinieerd werd.

jan roelens
26-6-2014

Antwoord

Beste,

Een kijkwijze is de volgende.

Stelling: Als 2 lijnen loodrecht op elkander staan, dan is het product der hellingsgetallen (rico) -1.

Welnu:
We nemen 2 vectoren:

$
v_1 = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_0 } \\
{y_0 } \\
\end{array}} \right){\kern 1pt} v_2 = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{y_1 } \\
\end{array}} \right)
$

$
\begin{array}{l}
(rc)v_1 = \frac{{y_0 }}{{x_0 }} \\
(rc)v_2 = \frac{{y_1 }}{{x_1 }} \\
\end{array}
$

Wanneer deze loodrecht staan, moet dus gelden dat het product -1 is.
$

\begin{array}{l}
\frac{{y_0 }}{{x_0 }}.\frac{{y_1 }}{{x_1 }} = - 1 \\
y_0 y_1 = - x_0 x_1 \\
y_0 y_1 + x_0 x_1 = 0 \\
\end{array}

$
Hetgeen je wilde bewijzen.

Is dit wat je bedoelde?

mvg DvL

DvL
26-6-2014