WisFaq!

Inverteerbaar

Beste

Voor welke waarden van p is matrix A inverteerbaar?

A =
1 0 4
-2 p 2
4 0 p^2

en bepaal de inverse m.b.v. de adjunctmatrix.

A.
9-6-2014

Antwoord

Beste,

$
\begin{array}{l}
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 4 \\
{ - 2} & p & 2 \\
4 & 0 & {p^2 } \\
\end{array}} \right] \\
\det (A) = p(p^2 - 16) \\
\det (A) = 0 \Rightarrow p = 0\;p = 4\;p = - 4 \\
\end{array}
$
Deze waarde mag P dus NIET aannemen en alle andere wel.

$
\begin{array}{l}
A^{ - 1} = \frac{1}{{\det (A)}}adj(A) \\
adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{p^3 } & {2p^2 + 8} & { - 4p} \\
0 & {p^2 - 16} & 0 \\
{ - 4p} & { - 10} & p \\
\end{array}} \right]^T = \\
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{p^3 } & 0 & { - 4p} \\
{2p^2 + 8} & {p^2 - 16} & { - 10} \\
{ - 4p} & 0 & p \\
\end{array}} \right] \Rightarrow A^{ - 1} = \frac{1}{{p(p^2 - 16)}}\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{p^3 } & 0 & { - 4p} \\
{2p^2 + 8} & {p^2 - 16} & { - 10} \\
{ - 4p} & 0 & p \\
\end{array}} \right] \\
\end{array}
$

Maar de moeilijkheid is misschien het vinden van deze adj(A).
Welnu die vinden we als volgt:
$
\begin{array}{l}
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{\left( 1 \right)} & 0 & {} \\
{} & p & 2 \\
{} & 0 & {p^2 } \\
\end{array}} \right] \to cof(1) = p^3 - 2.0 = p^3 \\
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{} & {\left( 0 \right)} & {} \\
{ - 2} & {} & 2 \\
4 & {} & {p^2 } \\
\end{array}} \right] \to cof(0) = - ( - 2p^2 - 8) = 2p^2 + 8 \\
\end{array}
$

Kortom we nemen een getal uit Matrix A en vervangen die door zijn cofactor.
( let hierbij op de minnetjes en plusjes) Zo vormen we een nieuwe matrix.
Welnu de transpose van deze nieuwe matrix is dan adj(A)

mvg DvL

DvL
9-6-2014