WisFaq!

Continue dynamisch model maken

De temperatuur in de koelkast was 6°C en is na 4 uren opgelopen tot 20°C. Maak een model voor de temperatuur tijdens dit proces en geef een vergelijking voor de temperatuur in de koelkast.
Ik had op wisfaq en ook op het internet al gezien, dat je dan te maken hebt met de afkoelingswet van Newton en met differentiaalvergelijkingen. Ik had een opzet geprobeerd dmv de verkregen informatie, maar ik weet niet goed ofdat ik het nu dan ook echt daadwerkelijk begrijp. Kunt u aub helpen?
-T'(t)=(T(t)-20·C, c=(constante, in dit geval 4.00 uur en T=0=6°C

dT/dt= -1/2·(T-20)
dT/(T-20)=-1/2·dt
ln(T-20)=-1/2·t+C1
t-20=C2·e^(-1/2·t)

T=(0)=6 volgt C2=-14
Dus:T=20-14·e^(-1/2·t)

Yvette
3-6-2014

Antwoord

Beste Yvette,

De afkoelingswet zegt dat de snelheid waarmee de temperatuur van een object (koelkast) afkoelt danwel opwarmt evenredig is met het verschil tussen de temperatuur en de omgeving op dat moment. Ofwel:

$
\frac{{DT}}{{dt}} = k(T - T_s )
$

Waarbij $ T_s $ de omgevingstemperatuur is.

Jij maakt mogelijk de denkfout dat 20 graden de omgevingstemperatuur is. De koelkast is na 4 uren weliswaar 20 graden, maar misschien is de omgevingstemperatuur wel anders. De koelkast is immers het object.

De oplossing in stapjes is dan:

$
\begin{array}{l}
\frac{{DT}}{{dt}} = k(T - T_s ) \\
\frac{{DT}}{{T - T_s }} = k.dt \\
\int {\frac{{DT}}{{T - T_s }} = \int {k.dt} } \\
LN(T - T_s ) = kt + c \\
T - T_s = e^{kt + c} = e^c e^{kt} \\
e^c = c_2 \ne 0 \\
T = T_s + c_2 e^{kt} \\
\end{array}
$

Wanneer je dan de randvoorwaarden T(0)=6 en T(4)=20 invult, kun je hem volledig oplossen.

Echter in dit geval weet ik de omgevingstemp niet, die staat wellicht gegeven in je boek. Ook snap ik niet hoe je aan die -0,5 komt?

De vraag zoals jij hem formuleert is niet voldoende om hem precies op te lossen.

mvg DvL

DvL
3-6-2014