WisFaq!

Van chaos naar ordening

In de vraag 'Van chaos naar ordening' stond een programma voor de TI-83. Echter het programma geeft bij de parameters A en B in het programma een overflow
Maar nu als ik kijk op de link in het antwoord (deze pagina), staat er op die site dat je met de ene parameters complete chaos krijgt, maar met andere geordende structuren.
Als ik de parameters die onder het plaatje staan invoer als waarde voor A en B in het programma, geeft het geen error en tekent het een mooie attractor

Maar nu mijn vraag:
Hoe komt het nou eigenlijk dat een verschil van 0.1 (!) in de parameter zulke enorme verschillen (in de orde van 9e92) krijgt?
(ik weet dat chaos onvoorspelbaar is, maar toch 0.1 tegenover 9e92)

Sid
6-2-2003

Antwoord

Op dezelfde pagina staat iets over 'wegvluchten naar oneindig'. Misschien moet je het je zo voorstellen: bij een bepaalde waarde kan het zijn dat aan de linker kant het iteratieproces 'netjes' naar een bepaalde waarde gaat. Begin je echter aan de rechter kant van dezelfde waarde dan kan het wel eens zijn dat het interatieproces uit de hand loopt... dus 'wegvluchten naar oneindig'. In zo'n programma krijg je dan een 'overflow', omdat na een aantal slagen het getal te groot wordt.

Voorbeeld
Stel dat je van een getal steeds het kwadraat neemt, dus
x_n+1=x_n²

Ik start met 0,9.
0,9®0,81®0,6561®0,43046721®0,1853020188851841 enz...
Je ziet de waarde wordt steeds kleiner en zal uiteindelijk op nul uitkomen. Niks aan de hand.

Nu start ik met 1,1.
1,1®1,21®1,4641®2,14358881®4,5949729863572161 enz...
Uiteindelijk wordt het getal groter en groter. Uiteindelijk loopt het uit de hand... probeer het maar eens met de rekenmachine van Windows. Begin met 1,1 en druk steeds op x^2. Op een gegeven moment gaat het heel hard!

Toch is het verschil tussen de beginwaarden slechts... 0,2. Dus kleine verschillen hebben grote gevolgen! Dit verschil is echter wel voorspelbaar! En nog niet eens chaotisch! Kortom: interatieve processen daar gaat hier om! En daarbij kunnen startwaarden en parameters werelden van verschil uitmaken.

Hopelijk helpt dit, anders horen we het wel!

WvR
8-2-2003