WisFaq!

Toon aan

Goedemiddag, ik moet een vraag oplossen, maar ik weet niet hoe ik dit moet doen, zou iemand mij kunnen helpen

Vraag: Gegeven is een ellips met vergelijking x²/a² + y²/b² =1 met een van de brandpunten F1(c,0) en excentriciteit e verder is ook de rechte d met vergelijking x = a²/c gegeven beschouw een willekeurig punt P van de ellips. Toon aan dat |PF1|/d(P,d) = e. men noemt de rechte d de richtlijn van de ellips bij het brandpunt F1.

Alvast bedankt.

simon
21-5-2014

Antwoord

De brandpunten noemen we voor het gemak A(c,0) en B(-c,0).
Met P(x,y) vind je: PA² = (x - c)² + y en PB² = (x + c)² + y²
Hieruit volgt PB² - PA² = 4cx
Per definitie geldt: PB + PA = 2a
Omdat PB² - PA² = (PB + PA)(PB - PA) vinden we nu dat PB - PA = 2cx/a

Je hebt nu twee vergelijkingen, één voor PB - PA en één voor PB + PA.
De methode van optelling/aftrekking geeft direct PA = a - cx/a en
PB = a + cx/a

PA = a - cx/a = (c/a).(a²/c - x)

Het stukje tussen het tweede stel haakjes is nu precies de afstand van het punt P tot de lijn d met vergelijking x = a²/c

Conclusie: PA = (c/a).d(P,d) en daar c/a = e ben je er.

MBL
22-5-2014