WisFaq!

Re: Hogere homotopiegroepen

Hallo kphart,

Van Hatcher (Algebraic Topologie) heb ik de volgende definitie voor de groepsoperatie maar ik begrijp niet precies hoe ik deze moet gebruiken. Het bewijs van de propositie is anders dan het bovengenoemd bewijs maar komt volgens mij op hetzelfde neer. Alleen begrijp ik van onderstaand bewijs minder dan van het andere bewijs. I

A. pi_n(X,x₀) is een groep

Voor een ruimte X met een basispunt x₀ in X, is pi_n(X,x₀) gedefinieerd als de verzameling van homotopieklassen van afbeeldingen

f : (Iⁿ, RIⁿ) -$>$ (X,x₀). Afbeeldingen f_t voldoen aan f_t(RIⁿ)=x₀.

Als n$>$= 2 dan is de som operatie in pi_n(X,x₀) gedefinieerd door

(f+g)(s1,s2,...,sn) = {f(2s1,s2,...,sn) voor s1 in [0,1/2], en gelijk aan
g(2s1-1,s2,...,sn) voor s1 in [1/2,1]}

Som operatie omdat pi_n een abelse groep is.

Deze som is welgefinieerd voor de homotopieklassen. Omdat alleen de eerste coordinaat betrokken is, kunnen we om te bewijzen dat pi_n(X,x₀) een groep is dezelfde argumenten gebruiken als in het bewijs voor pi₁. De identiteit is hier de constante afbeelding c : Iⁿ -$>$ x₀, de inverse wordt gegeven door

-f(s1,s2,...,sn)= f(1-s1, s2,...,sn).

B. Nu een ander soort bewijs van de propositie: Als X wegsamenhangend is, dan geven verschillende keuzes van het basispunt altijd dezelfde isomorfe groepen pi_n(X,x₀).

Zij p : [0,1] -$>$ X een pad van x₀=p(0) naar een ander basispunt x₁=p(1). Met iedere afbeelding f : (Iⁿ, RIⁿ) -$>$ (X,x₁) kan een afbeelding pf : (Iⁿ, RIⁿ) -$>$ (X,x₀) geassocieerd worden. Een homotopie van p of f gedefinieerd via afbeeldingen die respectievelijk RI en RIⁿ 'vastzetten', leidt tot een homotopie van pf gedefinieerd door afbeeldingen (Iⁿ, RIⁿ) -$>$ (X,x₀).
Er zijn drie basiseigenschappen

(a) p(f+g) is homotoop met pf+pg
(b) (pq)f is homotoop met p(qf)
(c) 1f is homotoop met f, met 1 de konstante pad.

De homotopieen in (b) en (c) zijn duidelijk (volgens de auteur). De homotopie in (a) is gedefinieerd als

Voor s1 in [0,1/2] is
h_t(s1,s2,...,sn)=p(f+0)((2-t)s1,s2,...,sn)
en voor s1 in [1/2,1] is
h_t=p(0+g)((2-t)s1+t-1,s2,...,sn).

Als we een basistransformatie maken Bp : pi_n(X,x₁)-$>$ pi_n(X,x₀) door middel van

Bp([f]) = [pf], dan laat (a) zien dat Bp een homomorfisme is, (b) en (c) impliceren dat Bp een isomorfisme is met inverse Bp', waar p' het inverse pad is van p, p'(s)= p(1-s). Dus als X wegsamenhangend is dan produceren verschillende keuzen van basispunt isomorfe groepen pi_n(X,x₀).

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
21-5-2014

Antwoord

Ik heb het boek van Hatcher even bekeken en ik vind dat het daar prima staat uitgelegd; mijn advies is die bladzijden te lezen met pen en papier bij de hand, en bij stapjes die aan de lezer worden overgelaten zelf de nodige argumenten op te schrijven. Probeer bijvoorbeeld bij het plaatje op bladzijde 340 (commutativiteit van $\pi_n$ als $n\ge2$) de bijbehorende homotopiën maar eens te maken.

kphart
25-5-2014