We gaan kijken naar:
$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan (x) - \sin (x)}}{{x^3 }}
$
Zowel de teller als de noemer gaat naar nul. Dus je past de regel toe. Dat betekent dat je de afgeleide van de teller en de afgeleide van de noemer neemt:
$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\cos ^2 (x)}} - \cos (x)}}{{3x^2 }}
$
Maar helaas, zowel de teller als de noemer gaan nog steeds naar nul. Daar was ik dan niet veel mee opgeschoten. Maar ik kan nu wel nog een keer de regel toepassen. Ik neem weer de afgeleide van de noemer en de afgeleide van de teller:
$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{2\sin (x)}}{{\cos ^3 (x)}} + \sin (x)}}{{6x}}
$
Jippie! De teller en de noemer gaan beide nog steeds naar nul. Dan nog maar een keer dan?
$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{4\sin ^2 (x) + 2}}{{\cos ^4 (x)}} + \cos (x)}}{6}
$
Nu gaat de noemer in ieder geval naar 6 en bij de teller kan je x=0 invullen. Daar komt dan 3 uit. Er is maar één conclusie mogelijk:
$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan (x) - \sin (x)}}{{x^3 }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
$
...en dat is toch wel bijzonder...
Lukt dat zo?
WvR
20-5-2014