WisFaq!

Ongelijkzijdige driehoek

Gegeven is een ongelijkzijdige driehoek ABC met AB als grondvlak en C de top van de driehoek. AB = 628, CB = 300 (straal van een cirkel). De hoek tussen C en B (vanuit A) is 20 graden. Vanuit C wordt er een hoogtelijn getrokken op AB. Dat punt wordt D genoemd (CD = hoogtelijn).



Gevraagd wordt CD en BD. Ik had al geprobeerd om ergens pythagoras toe te passen bij de driehoeken die een hoek van 90 graden hebben, maar tevergeefs. Hetzelfde geldt voor de sinus en cosinusregel. Het lijkt er op dat precies de variabelen die je nodig hebt voor deze regels niet bekend zijn.

EJ
19-5-2014

Antwoord

x is de afstand tussen punt D en het snijpunt van de cirkelboog op lijn AB

$
\begin{array}{l}
(300 - x)^2 + h^2 = 300^2 \Rightarrow h^2 = 600x - x^2 \\
(328 + x)^2 + h^2 = \left| {AC} \right|^2 \\
\left| {AC} \right|^2 = \frac{{h^2 }}{{\sin (20)^2 }} \Rightarrow (328 + x)^2 + h^2 = \frac{{h^2 }}{{\sin (20)^2 }} \\
h^2 - \frac{{h^2 }}{{\sin (20)^2 }} = - 107584 - 656x - x^2 \\
h^2 = ( - 107584 - 656x - x^2 )\frac{{\sin (20)^2 }}{{\sin (20)^2 - 1}} \\
\frac{{\sin (20)^2 }}{{\sin (20)^2 - 1}} \approx - 0,13247 \\
\end{array}
$

Je hebt dan 2 vergelijkingen met 2 onbekende. De 2e van de eerste aftrekken.
Oplossen voor x.

Is nog een heel karwei gezien de moeilijke getallen, maar ik kom uit dat
x=29,727
h=130,202

Een andere en wellicht handigere manier waar iemand mij op wees is wellicht onderstaande:

$
\begin{array}{l}
\frac{{300}}{{\sin (20)}} = \frac{{628}}{{\sin (C)}} \Rightarrow \sin (c) = \frac{{628\sin (20)}}{{300}} \\
\angle C = 134,2779 \Rightarrow \angle B = 25,7221 \\
\left| {CD} \right| = 300\sin (B) = 130,202 \\
\end{array}
$

Mvg DvL

DvL
19-5-2014