WisFaq!

Hogere homotopiegroepen

Beste wisfaq,

Ik wil graag het volgende bewijzen:

Als X wegsamenhangend is, dan zijn de homotopiegroepen van X voor verschillende keuzes van basispunt isomorf aan elkaar.

Om preciezer te zijn, ik wil graag de volgende propositie bewijzen.

Propositie Als X wegsamenhangend is, dan zijn pi_k(X,x₀) en pi_k(X,x₁) isomorf aan elkaar voor elke twee punten x₀ en x₁ in X.
Als X enkelvoudig samenhangend is dan is dit isomorfisme 'canonical' , en dus is pi_k een welgedefinieerde groep zonder de keuze van een basispunt.

Ik heb het bewijs voor pi₁ bestudeerd en ik heb geprobeerd dit te vertalen naar hogere homotopie groepen. Ik heb alleen een schets van een bewijs maar het lukt mij niet om alle stappen correct uit te werken.

Schets van het bewijs
Zij p : [0,1] $\to$ X een pad van x₀ naar x₁.

We definieren een afbeelding F_p : pi_k(X,x₁) $\to$ pi_k(X,x₀) als volgt.

We hebben een k-kubus I^k=[-1,1]^k.

Zij f : [-1,1]^k $\to$ X, en t=(t₁,...,tk) is in I^k. Laat m=max{|t_p|}.

De functie F_p is als volgt gedefinieerd

F_p (f)(t) := {f(2t) voor m=$<$1/2 , en gelijk aan p(2(1-m)) voor m$\ge$1/2}.

Dit is een welgedefinieerde functie op homotopie groepen.

Vraag1. Volgens mij moet ik om aan te tonen dat F_p welgedefinieerd is aantonen dat voor m=1/2, f(1) gelijk is aan p(1)=x₁? Maar wat is f(1)?

F_p is een groepshomomorfisme.

Vraag2. F_p (f · g) = F_p(f) · F_p(g). De volgende drie punten moeten hier bewezen worden maar ik begrijp niet hoe ik dat moet doen omdat ik niet weet wat hier de operatie · is. Zijn f en g twee equivalentieklassen?

(1) Assiociativiteit.
(2) Het bestaan een neutraal element. Dit is meestal een constante afbeelding c : ? $\to$ ?, zodat c · f = f = f · c.
(3) Het bestaan van een inverse.

Uit de volgende drie eigenschappen, de punten (i)-(iii), volgt dan dat F_p een isomorfisme is:

(i) Als p homotoop is met een ander pad p' dan

F_p = F_p' : pi_k(X,x₁) $\to$ pi_k(X,x₀)

(ii) Stel dat p₁ een pad is van x₀ naar x₁ en p₂ een pad van x₁ naar x₂, en p₂p₁ is een samengesteld pad. Dan

F_p2p₁ = F_p2F_p1 : pi_k(X, x₂) $\to$ pi_k(X,x₀)

(iii) Als p een constant pad is in x₀, dan geldt

F_p = id_(pi_k(X,x₀)).

Vraag3. Ik zie niet hoe ik deze drie punten (i)-(iii) kan aantonen.


Vriendelijke groeten,

Viky

viky
19-5-2014

Antwoord

Vraag 1: je eigen tekst beter lezen: $t=(t_1,\ldots,t_k)$, dus $t$ is punt in de $k$-kubus $[-1,1]^k$ en $2t=(2t_1,\ldots,2t_k)$. Lees nog eens goed waar zo'n $f$ aan moet voldoen: op de rand van de kubus is $f$ constant, met waarde $x_0$. Als je goed kijkt zien je dat $F_p(f)$ op de rand constant is, met waarde $x_1$.
Vraag 2: het lijkt me dat je in je boek op kunt zoeken wat de operatie $*$ is op $\pi_k(X,x_0)$; je kunt $f$ en $g$ opvatten als equivalentie klassen maar het is makkelijker ze gewoon als functies te lezen en $F_p (f * g) = F_p(f) * F_p(g)$ als "het linker- en rechterlid zijn homotoop" en daarnaast aantonen: als $f$ en $g$ homotoop zijn dan zijn $F_p(f)$ en $F_p(g)$ het ook.
Vraag 3: eerst goed begrijpen wat $*$ is, dan kun je bewijzen dat $\pi_k(X,x_0)$ een groep is.

kphart
19-5-2014