WisFaq!

Partieel integreren

Ik moet een primitieve geven van x³ln³x+x³ln⁴x, dit moet volgens mij d.m.v partieel integreren. Ik heb geprobeerd zelf een begin te maken, d.m.v de informatie uit een ander voorbeeld te halen op wisfaq, om te kijken ofdat ik het snap.

x³ln³x+x³ln⁴x
Ik heb eerst het 1e stukje x³ln³x geprobeerd,
$\int{}$ln³x x³dx
f= ln³x $\to$ df = 3lnx/x
dg=x³dx $\to$ g=x⁴/4
x⁴ln³x/4-$\int{}$3lnx/x·x⁴/4dx
x⁴ln³x/4-3/4$\int{}$lnx·x³dx
f= ln x f'=1/x g'= x³ g=x⁴/4
Kunt u mij aub hiermee verder helpen en doe ik het zo goed of niet?

Yvette
18-5-2014

Antwoord

Beste Yvette,

Algemeen geldt: $ \int {f.g'dx = f.g - \int {f'g} } dx $

We herschrijven je integraal een klein beetje:

$
F = \int {x^3 \ln (x)^3 + x^3 \ln (x)^4 dx = \int {x^3 \ln (x)^3 dx + \int {x^3 \ln (x)^4 } } } dx
$

Laten we eerst naar het 2e gedeelte kijken, later snap je waarom.
$
\int {x^3 \ln (x)^4 } dx
$

Nu gaan we partieel integreren zoals je zelf al voorstelde.
We gebruiken:

$
\begin{array}{l}
f = \ln (x)^4 \;f' = \frac{{4\ln (x)^3 }}{x} \\
g = \frac{{x^4 }}{4}\;\;\;g' = x^3 \\
\end{array}
$

Dit deel van de integraal wordt dan dus:

$
\int {x^3 \ln (x)^4 } dx = f.g - \int {f'g = \frac{1}{4}x^4 \ln (x)^4 - \int {x^3 \ln (x)^3 } }
$

Misschien zie je het al, maar de integraal in het rechterlid is een beetje hetzelfde ( of een beetje) als het deel wat we nog moeten doen.

Tezamen:


$
\begin{array}{l}
F = \int {x^3 \ln (x)^3 dx + \int {x^3 \ln (x)^4 } } dx = \int {x^3 \ln (x)^4 } dx + \int {x^3 \ln (x)^3 dx} \\
F = \frac{1}{4}x^4 \ln (x)^4 - \int {x^3 \ln (x)^3 } dx + \int {x^3 \ln (x)^3 dx} = \frac{1}{4}x^4 \ln (x)^4 \\
\end{array}
$

mvg DvL

DvL
18-5-2014