WisFaq!

Verband permutaties en combinaties

Hey

Ik heb hier een reeks oefeningen, maar helaas zonder oplossingen. 2 hiervan denk ik wel te hebben (als u ze misschien toch eens kan controleren), maar voor de twee anderen zou ik hulp nodig hebben :)

Dus de vragen zijn:
Ik geef een verjaardagsfeestje met 15 mensen (14 gasten en mijzelf).

(a) Ik heb 15 stoelen klaargezet. Op hoeveel manieren kunnen de 15 mensen op de stoelen gaan zitten?
Deze is nog vrij eenvoudig: 15!, niet?

(b) Er zijn acht stukken appeltaart, vijf stukken kwarktaart en twee stukken hazelnoottaart? Op hoeveel manieren kan de taart verdeeld worden over de 15 mensen?
Deze weet ik niet.

(c) Ik houd niet veel van hazelnoottaart. Op hoeveel manieren kan de taart verdeeld worden zodat ik geen hazelnoottaart krijg?
Deze ook niet :(

(d) Op hoeveel manieren kan ik een afwasgroepje bestaande uit een afwasser en twee afdrogers aanwijzen (ikzelf hoef natuurlijk als jarige niet af te wassen)?
Bij de deze denk ik ^14!/_3!11!, of dus 364. klopt het?

Het is waarschijnlijk niet zo moeilijk, maar het is nog maar net het begin dat ik hiermee bezig ben, vandaar al die twijfels.

Alvast bedankt.

Carlos.

• Verband permutaties en combinaties

Carlos
30-4-2014

Antwoord

Hoi Carlos

Vraag a) Dat lijkt mij ook.

Vraag b) Geef elk taartstuk in gedachten eens een nummer. Dan zijn er 15! volgordes en dus mogelijke verdelingen. Echter zijn een hoop verdelingen hiervan hetzelfde.

VB:$
\begin{array}{l}
k_1 k_2 k_3 k_4 k_5 h_1 h_2 a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8 \\
k_2 k_1 k_3 k_4 k_5 h_1 h_2 a_1 a_3 a_2 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8 \\
k_5 k_2 k_3 k_4 k_1 h_2 h_1 a_1 a_2 a_3 a_4 a_8 a_6 a_7 a_5 \\
\end{array}
$

Zijn allemaal dezelfde manieren. De k's kunnen op 5! manieren gelegd worden die allemaal hetzelfde zijn. Voor de h's en a's geldt 2! respectievelijk 8! manieren.

Dus het totaal aantal manieren delen door het aantal manieren die hetzelfde zijn, geeft $
\frac{{15!}}{{2!5!8!}} = 135135
$

Vraag c) je houdt niet veel van hazelnoot dus krijg je of appel of kwark.
Stel je krijgt appel. Dan heb ik nog 7 appel 5 kwark en 2 hazel te verdelen over de overige 14 mensen.
stel je krijgt kwark dan heb ik nog 8 appel 4 kwark en 2 hazel te verdelen over dezelfde 14 mensen.

$
\frac{{14!}}{{7!5!2!}} + \frac{{14!}}{{8!4!2!}} = 117117
$

Vraag d)

Jij hoeft niet af te wassen dus moet ik kiezen uit 14 mensen.
Laat ik eerst de afdroger kiezen, dit kan op 14 manieren. Elk van deze 14 manieren kan ik combineren met een tweetal afdrogers uit de rest van de 13 man.

$
14\left( {\begin{array}{*{20}c}
{13} \\
2 \\
\end{array}} \right) = 14\frac{{13!}}{{2!11!}} = 1092
$

mvg DvL

DvL
30-4-2014