WisFaq!

De Borsuk-Ulam theorie

Beste wisfaq,

Ik heb enkele vragen over het bewijs van de volgende opgave die te maken heeft met de Borsuk-Ulam lemma. De opgaven heeft te maken met de volgende theorie uit het boek Topology van Munkres.

Theorie
Als h : S¹ -$>$ S¹ continu is en antipodaal behoudend, dan bestaat er geen homotopie van h naar een constante afbeelding.

opgave
Zij h: S¹ -$>$ S¹ een continue afbeelding en antipodale behoudend met h(b_0)=b_0. Laat zien dat h* (de isomorfisme geinduceerd door h) een voortbrenger van de fundamentele groep van pi_1(S¹,b_0) naar een oneven macht van zichzelf overvoert. [Hint: ALs k de afbeelding is geconstueerd in het bewijs van de bovenstaande theorie, laat zien dat k* hetzelfde doet.]

Ik begrijp bepaalde onderdelen van het bewijs niet. Ook lukt het mij niet om de rode draad in dit bewijs te zien.

Bewijs

De afbeelding q : S¹ -$>$S¹ gegeven door q(z)=z² is een quotiënt afbeelding.

q o h is constant op het origineel q^(-1){p} van iedere p in S¹ omdat q^(-1){p} = {z,-z} met z² = p en q o h(-z) = q o h(z).

De quotient afbeelding q en de afbeelding q o h induceren een continue afbeelding k : S¹ -$>$ S¹.

Zij b_0 een punt (1,0) van S¹ and g : [0,1] -$>$ S¹ een lus gedefinieerd door

a(t)=(cos(2pi*t), sin(2pi*t)).

Dan is a een voortbrenger van pi_1(S¹,b_0). En er geldt dat q*[a]=2[a] omdat q o a(t) = (cos(4pi*t), sin(4pi*t)).

Ook geldt dat

2k*[g]=k* o q*[a] = q* o h*[a] = 2h*[a].

VRAAG 1. Ik begrijp niet waarom 2k*[a]=k* o q*[a].
k* is de homomorfisme geinduceerd door k, dus k*([g]) = [k o g].

Het is voldoende om te laten zien dat k*[a]=d[a] voor een oneven geheel getal. Definieer een pad van b_0 naar -b_0

f : [0,1] -$>$ S¹ door f(t)=(cos(pi*t), sin(pi*t))

Er geldt dat q o f = a en h o f is geen lus omdat h o f(1) = h(-b_0) = -b_0 = b_0.

Omdat q : S¹ -$>$ S¹ een overdekking is, impliceert de vergelijking k o q o f = q o h o f

k o q o f = h o f ,

k o q o f is de 'lifting' van k o q o f.

VRAAG 2. Ik begrijp niet waarom k o q o f is de 'lifting' van k o q o f. Wordt hier een bepaalde lemma of theorie toegepast?

Stel nu dat 2=2m. Dan

[k o q o f] = [k o g] = k*[g] = 2m[g] = q*(m[g]) = q * ${\rm{ < b > }}$
= [q o b]

met b een lus zodat ${\rm{ < b > }}$=m[a], bijvoorbeeld b(t) = (cos(2mPi*t), sin(2mPi*t)).

De pad homotopie lifting impliceert nu dat de lifting k o q o f = h o f een homotopie is van b naar q o b. Een gevolg hiervan is dat h o f een lus is omdat b een lus is. Dit is een tegespraak.

VRAAG 4. Dit laatste onderdeel begrijp ik helemaal niet. Waarom is k o q o f = h o f een homotopie is van b naar q o b? En waarom volgt hieruit dat h o f een lus is?

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
23-4-2014

Antwoord

1. $k^*$ is een homomorfisme en je hebt al opgemerkt dat $q^*[a]=[a]+[a]$; dus $k^*(q^*[a])=k^*([a]+[a])=\dots$
2. Dit is een gevolg van slecht overschrijven: het is $h\circ f$ die `de' lifting van $k\circ q\circ f$ is, en de reden is de definitie van lifting, in dit geval dat $q\circ(h\circ f)=k\circ q\circ f$
4. Weer: slecht overgeschreven: je hebt gevonden dat $[k\circ q\circ f]=[q\circ b]$, dus de lussen $k\circ q\circ f$ en $q\circ b$ zijn homotoop; de homotopie-lifting-stelling geeft dan een homotopie tussen de respectievelijke liftingen $h\circ f$ en $b$; die homotopie houdt $b_0$ op zijn plaats en omdat $b$ een lus is moet $h\circ f$ ook een lus zijn..

kphart
1-5-2014