Voor het gemak stel ik even voor dat je drie spelers elk drie kaarten geeft. Je vraagt je af hoe groot de kans is dat elk van de drie spelers drie verschillende kleuren krijgt.
De volgorde van delen maakt niet uit: alles is willekeurig, dus je kunt de spelers om en om een kaart geven, of eerst drie kaarten aan speler 1, dan drie kaarten aan speler 2 en tot slot drie kaarten aan speler 3. Dat laatst rekent het gemakkelijkst:
De eerste kaart voor speler 1 is willekeurig. Kans op succes: 9/9 = 1
Voor de tweede kaart mag je dan nog uit 6 kaarten kiezen. Kans op succes: 6/8.
Voor de derde kaart zijn dan nog 3 mogelijkheden: kans op succes: 3/7.
Dan speler 2:
De eerste kaart is willekeurig: kans op succes = 6/6
Voor de tweede kaart heb je nog 4 mogelijkheden: kans op succes = 4/5
Voor de derde kaart kan je nog uit twee kaarten kiezen: kans op succes = 2/4.
Voor speler 3 zijn dan automatisch nog drie verschillende kaarten over.
De kans dat dit allemaal gebeurt, bereken je door al die kansen te vermenigvuldigen:
9/9 · 6/8 · 3/7 · 6/6 · 4/5 · 2/4 $\approx$ 0,129 (12,9%).
Het is dus niet heel bijzonder dat dit gebeurt, maar duidelijk wel minder dan '9 van de 10 keer'.
Maar je bent niet zo streng dat je precies dit resultaat krijgt. Je bent ook tevreden wanneer je 'zo'n beetje' 3 groepjes van drie verschillende kaarten krijgt. Nu weet ik niet wat je bedoelt met 'zo'n beetje', maar ik denk dat je één misser dan ook nog wel goed vindt. dat wil zeggen: één speler heeft twee dezelfde kaarten, automatisch heeft een andere speler dat dan ook.
Laten we de kans eens berekenen dat dit gebeurt:
Stel speler 1 heeft drie verschillende kleuren gekregen (RBG). De kans hierop is 9/9 · 6/8 · 3/7 = 9/28.
Speler twee krijgt 2 verschillende kleuren. Dat kan zijn:
RRB, RRG, BBR, BBG, GGR, of GGB.
De kans op RRB (in deze volgorde) is 2/6 · 1/5 · 2/4 = 1/30.
Er zijn 3 volgordes mogelijk, de kans op RRB in willekeurige volgorde is dus 3/30 = 1/10.
De kans op de overige combinaties is hetzelfde, dus de totale kans op één van deze mogelijkheden is 6 · 1/10 = 3/5.
De kans dat speler 1 drie verschillende kaarten heeft en de andere spelers één dubbele kleur, is dus:
9/28 · 3/5 = 9/140
Dezelfde kans bestaat voor de mogelijkheden dat speler 2 of speler 3 drie verschillende kaarten heeft, en de overige één dubbele kleur. De totale kans op één misser is dus 3 · 9/140 = 27/140 = 0,193 (=19,3%).
Hiermee komen we op een kans op precies het gewenste resultaat (iedereen 3 verschillende kleuren) of bijna het gewenste resultaat (één tweetal kaarten verkeerd gedeeld) van 0,129 + 0,193 = 0,321 (32,1%). Ongeveer 1 op 3 dus, maar nog steeds niet 9 op 10.
Misschien ben je nog minder streng en mag ook 2 stel kaarten verwisseld zijn, maar de kans daarop mag je zelf uitrekenen
.
GHvD
15-4-2014