WisFaq!

Limieten bepalen met MacLaurin formules

Beste wisfaq,

Il wil de volgende limiet bepalen met MacLauring formules.

lim [(e^-x2-1)·sin(x)]/[x·ln(1+x²)], x gaat naar 0.

Ik weet niet precies hoe ik het beste n kan bepalen. Ik hier gekozen voor n=1 en n=2.

Teller (O grote O notatie)
n=1
e^-x2-1=x²+x⁴/2+O(x³)

n=1
sin(x)=x-x³/6+O(x⁵)

(e^-x2-1)·sin(x)=(x²+x⁴/2+O(x³))·(x-x³/6+O(x⁵))
=x³-x⁵/2+x⁷/3+(x²+x⁴/2)·O(x⁵)+(x-x³/6)·O(x³)

noemer
n=2
ln(1+x²)=x²-x⁴/2+x⁶/3+O(x⁴)
x·(x²-x⁴/2+x⁶/3+O(x⁴))=x³-x⁵/2+x⁷/3+x·O(x⁴)

Ik dacht, als ik nu teller en noemer deel door x³ dan gaan alle termen naar 0 behalve de eerste term in de teller en noemer, x³. De limiet is gelijk aan 1. Maar wat moet ik doen met de hogere orde termen die vermenigvuldigt zijn met xⁿ, met n$<$3?

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
7-3-2014

Antwoord

Viky,
Her meeslepen van hogere machten van n heeft geen zin. De limiet is gelijk aan 1 hetgeen ook volgt de 3 standaard limieten die in de opgave zitten.

kn
7-3-2014