WisFaq!

De uitwendige maat en continuiteit

Hallo wisfaq,

Voor een deelverzameling A van Rⁿ met eindige uitwendige maat definieren wij de volgende functie

m: R x S^n-1 $\to$ R, R de reële getallen

door

m(t,v)=$\mu$*({x in A: | $<$x,v$>$ $\ge$ t}).

Deze functie m(t,v) is de uitwendige maat van dat deel van A dat ligt op de v-zijde van het hypervlak met normal v. De v-zijde is de zijde waar v naar wijst. Het punt tv, element van Rⁿ, ligt op A. Het feit dat de uitwendige maat eindig is impliceert dat deze functie m continu is. Dit wil ik graag bewijzen.

1. Allereerst probeer ik goed te begrijpen wat het betekent als een uitwendige maat eindig is. Daarna prober ik dit te vertalen naar deze functie m. We hebben $\mu$*(W) met

W={x in A: | $<$x,v$>$ $\ge$ t}.

Ik gebruik de definitie van uitwendige maat. Zij

$\mu$: F$\to$[0, oneindig],

met F een collective van deelverzameling van een verzameling X. Voor ieder deelverzameling D van X definieren wij

$\mu$*(D)=inf{ som[$\mu$(Dn)]: {Dn} de rij van F met D bevat in,of gelijk aan, U (Dn)}., U de vereniging, n=1 tot oneindig.

Ik probeer dit te vertalen naar W. {Wn} is een rij van deelverzamelingen van A die op zijn beurt bevat is in Rⁿ. De uitwendige maat $\mu$* is het infimum van de sommen, som[$\mu$(Wn)], genomen over alle overdekkingen U (Wn) die W bevatten.

Als er zo een rij {Wn} bestaat van F, zodat W bevat is of gelijk is U(Wn) dan geldt dat $\mu$*(W) eindig is. Als zo een rij niet bestaat dan is $\mu$*(W) oneindig.

In mijn bewijs gebruik ik het gegeven dat deze maat eindig is. Maar ik begrijp eigenlijk niet waarom m=$\mu$*(W) eindig is. Ik weet niet of dit moeilijk te bepalen is. Deze gegeven moet ik nu gebruiken om aan te tonen dat de functie m continu is.

2. Ik weet niet hoe ik continuiteit van m moet bewijzen en ook niet hoe dit volgt uit het feit dat $\mu$*(W) eindig is. Ik denk dat ik hier een epsilon-delta bewijs kan gebruiken. Het moeilijkste vind ik de toepassing hiervan op deze functie omdat het een maat betreft.Ik heb nog nooit zo'n eps-delta constructie gezien bij maten en ik weet ook niet precies waar ik dat in de literatuur zou kunnen vinden.

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
21-2-2014

Antwoord

Ik denk dat het in deze opgave de bedoeling is dat je de uitwendige maat gebruikt die bij de Lebesgue-maat hoort. Die $\mathcal{F}$ is dus de familie blokken en $\mu(F)$ is de $n$-dimensionale inhoud van het bolk $F$.

1. $W$ hangt van $t$ en $v$ af en is dus variabel; je zou $W(t,v)$ moeten schrijven. Er geldt dus $m(t,v)=\mu^*\bigl(W(t,v)\bigr)$.

2. Het bewijs dat $m$ continu is kost een beetje moeite en je gebruikt het feit dat $\mu^*(A)$ eindig is als volgt: zij $\varepsilon$>$0$ en kies een $R$>$0$ zó dat $$\mu^*\bigl(\{x\in A: \|x\|\ge R\}\bigr) < \varepsilon/2$$ (dit kan juist omdat de uitwendige maat van $A$ eindig is, en omdat we met de Lebesgue-maat werken). Noem de bol om $0$ met straal $R$ even $B$.
Als $(t,v)$ en $(s,u)$ gegeven zijn dan geldt $$|m(t,v)-m(s,u)|\le\mu^*\bigl(W(t,v)\mathbin\triangle W(s,u)\bigr)$$ (hier staat $\triangle$ voor symmetrisch verschil). We noteren $V=W(t,v)\mathbin\triangle W(s,u)$. Door $A$ te verdelen in $A\cap B$ en $A\setminus B$ kunnen we $\mu^*(V)$ verder afschatten: $$\mu^*(V)\le\mu^*(V\cap B)+\mu^*(V\setminus B) < \mu^*(V\cap B)+\varepsilon/2.$$ Je kunt dan een $\delta$>$0$ vinden zó dat $$\mu^*(V\cap B) < \varepsilon/2 \mbox{ als } \|(t,v)-(s,u)\| < \delta;$$ dat gaat door de uitwendige maat van $V\cap B$ af te schatten met de maat van het symmetrisch verschil van $$\{x\in B:\langle x,v\rangle\ge t\}\mbox{ en }\{x\in B:\langle x,u\rangle\ge s\},$$ die kun je uitrekenen als functie van $t$, $s$, $R$ en de hoek/afstand tussen $v$ en $u$ (teken ook een plaatje voor het geval $n=2$).

kphart
1-3-2014