WisFaq!

Wiskunde en economie

Beste

Wij hebben een taak over anuïteiten opgekregen. Dit een taak voor het vak wiskunde.Wij zijn al heel wat formules tegengekomen, maar we weten niet welke echt de belangerijkste zijn. CWpost = T 1-(1+i)^-n / i , is dit al een goede basisformule en weet u hier een bewijs van ?

Groetjes

• Wiskunde en economie

Elke
19-2-2014

Antwoord

Beste Elke,

Aangezien je slechts een bewijs wilt neem ik aan dat je het idee begrijpt en dus geen concrete voorbeelden behoeft. Deze geef je immers zelf niet. Een bewijs kan ik je geven.

$
\begin{array}{l}
T = \;bedrag\;per\;termijn\;te\;betalen \\
n = \;aantal\;termijnen\, \\
i = \,de\;rente als decimaal getal \\
X = \,\;cw_{post} \\
x_1 .(1 + i)^1 = T \Rightarrow x_1 = T(1 + i)^{ - 1} \\
x_2 .(1 + i)^2 = T \Rightarrow x_2 = T(1 + i)^{ - 2} \\
x_n .(1 + i)^n = T \Rightarrow x_n = T\left( {1 + i} \right)^{ - n} \\
x_1 + x_2 + x_3 + .......x_n = X \\
\\
X = T((1 + i)^{ - 1} + (1 + i)^{ - 2} + ........\left( {1 + i} \right)^{ - n} ) \\
r = \frac{1}{{1 + i}} \Rightarrow X = T(r^1 + r^2 .....r^n ) \\
r^1 + r^2 .....r^n = \frac{{1 - r^{n + 1} }}{{1 - r}} - 1 \\
\frac{{1 - r^{n + 1} }}{{1 - r}} - 1 = \frac{{1 - (1 + i)^{ - (n + 1)} }}{{1 - \frac{1}{{1 + i}}}} - \frac{i}{i} = \frac{{1 + i - (1 + i)^{ - n - 1 + 1} }}{{1 + i - 1}} - \frac{i}{i} \\
X = T(\frac{{1 - (1 + i)^{ - n} }}{i}) \\
\end{array}
$

mvg DvL

DvL
19-2-2014