WisFaq!

Vergelijking verklaren met behulp van vijfhoek

Hallo,

Er is een regelmatige vijfhoek ABCDE gegeven. Diagonalen AD en CE snijden elkaar in punt F. Elke diagonaal is evenwijdig aan een zijde dus AC//AD. Zelf heb ik al kunnen achterhalen dat er congruentie in zit. Driehoek DEF is congruent aan driehoek ACF. Ook is het duidelijk dat AC = AD en DE = AF. Het laatste gegeven: stel de lengte van de diagonalen in de vijfhoek is 1 en AF = x. Nu wordt gevraagd om aan te tonen dat hieruit de vergelijking x² + x - 1 = 0 ontstaat.

Wat ik nu niet snap, is waar die vergelijking voor staat? Is het van een zijde? Of van iets anders? Want ik denk dat als ik weet waarvoor je deze vergelijking nodig hebt dat ik dan wel kan verklaren hoe deze is ontstaan.

Mvg

Atena
8-2-2014

Antwoord

$
\Delta ACF \sim \Delta DEF
$

Met een verhoudingstabel:



Met kruislings vermenigvuldigen:

$
\begin{array}{l}
DE \cdot AF = AC \cdot DF \\
x \cdot x = 1 \cdot \left( {1 - x} \right) \\
x^2 = 1 - x \\
x^2 + x - 1 = 0 \\
\end{array}
$

Die $x$ stond voor de lengte van AF. Als een diagonaal van de vijfhoek de lengte 1 heeft dan heeft kan je met de vergelijking de lengte van $AF$ berekenen. Je moet de vergelijking maar 's oplossen.

WvR
8-2-2014