WisFaq!

Lissajous

Goede middag,
Kunt u mij helpen bij het volgende probleem:
De Lissajousfiguur L is gegeven door de formules:
x(t) = 2 sin(3t) $\wedge$y(t) = cos(t - 1¹/₄$\pi$) en t van 0 tot 2$\pi$
Vraag: Een horizontale lijn snijdt L in punt A met t_..A. op [7/12$\pi$,11/12$\pi$] en in punt B zodat AB = √2.
Bereken de coördinaten van A.

Ik denk, dat ik op zoek moet naar 2 cosinussen die dezelfde waarde opleveren, maar dan maak ik er nog een onbekende bij!? En dan waarschijnlijk 2 sin(......- 2 sin(......) = √2. Ik loop vast! Hulp a.u.b.

Met veel dank,
Katrijn

Katrijn
30-1-2014

Antwoord

De gegeven waarden 7/12p en 11/12p zijn de momenten waarop de kromme zichzelf doorsnijdt. Wanneer je de grafiek bekijkt tussen deze twee tijdstippen, dan zie je dat wanneer je op dát stukje een punt A kiest, B dan links van A moet liggen.
Als t=a het punt A aanwijst en t=b het punt B, dan zijn de y-waarden gelijk omdat AB horizontaal ligt.
Dus geldt cos(a-1¹/₄p) = cos(b-1¹/₄p) zodat a-1¹/₄p = b-1 ¹/₄p + k.2p óf a-1¹/₄p = -b+1¹/₄p + k.2p
Het eerste geeft a = b wat natuurlijk logisch is want dan vallen A en B samen en liggen dus evenhoog.
Het tweede levert op a = -b + 2¹/₂p (de periode laten we weg want de hele kromme wordt beschreven als t van 0 tot 2p loopt).

Het verschil der x-waarden moet nu Ö2 zijn en omdat A rechts van B ligt geldt x(A) - x(B) = 2sin(3a) - 2sin(3b) = Ö2
Tezamen met a = -b + 2¹/₂p heb je dan nog maar één variabele en dan zou je het in principe moeten kunnen oplossen.

MBL
31-1-2014