WisFaq!

Rij van alle gehele getallen volgens Srinivasa Ramanujan

Hoi,
Op wikipedia heb ik een artikel gevonden over Ramanujan summation.

Deze stelt het volgende:
1+2+3+4+5+6+... = -1/12
Volkomen onzin dus. Toch is er een bewijs:

c = 1+2+3+4+5+6+...
4c = 4 + 8 + 12 + ...

-3c= 1-2+3-4+5-6+...
Deze laatste reeks heeft een eindige waarde: 1/4
Daaruit volgt -3c = 1/4 en c=-1/12

Mijn vraag is nu, waar is de fout in deze redenering?

Thomas Rossaert
30-1-2014

Antwoord

Hallo Thomas,

Bij het uitrekenen van -3c wordt steeds 1 term uit de reeks 4c 'verrekend' met 2 termen uit de reeks c:
(1+2) - 4 = (1-2)
(3+4) - 8 = (3-4) enz.

Van de reeks 4c wordt dus de helft van de termen vergeten, dit zijn oneindig veel termen die ook nog eens oneindig groot worden.
De conclusie -3c = 1-2+3-4+.... is dus onjuist.

Verder kunnen we de reeks 1-2+3-4+ ... ook als volgt schrijven:
(1-2) + (3-4) + (5-6) ...

Dit hetzelfde als:
-1 - 1 - 1 - 1 - ....

De som hiervan is niet 1/4. Achter de bewering dat deze som eindig is, zal eenzelfde soort drogreden zitten: goochelen met het begrip oneindig.

Kortom, voor mij is het genoemde 'bewijs' niet zo overtuigend.

---

naschrift

---

1. Als je x=-1 invult in de meetkundige reeks krijg je 1-1+1-1+\cdots{}=\frac12.
   
2. Voor 1-2+3-4+5-6+\cdots=\frac14 vul je x=-1 in in de machtreeks \sum nx^n.
   
3. Een goede uitleg van het probleem kun je hier vinden:
   Does 1+2+3… Really Equal -1/12?
   
4. De som 1+2+3+4+\cdots=-\frac1{12} volgt door de \zeta-functie analytisch voort te zetten en dan s=-1 in te vullen.
   
5. Het boek `Divergent series' van G. H. Hardy legt de geschiedenis rond deze sommatie-methoden mooi uit.

kp

GHvD
31-1-2014