WisFaq!

Vaas met ballen en 19 kleuren

Hallo, ik ben op zoek naar het antwoord op de volgende vraag: Stel er zitten 19 ballen in een vaas, elk met een andere kleur. Je trekt er drie ballen uit (met teruglegging), wat is dan de kans dat tenminste twee van de drie dezelfde kleur hebben? En, als je dit experiment 10 keer herhaalt, hoe vaak verwacht je dan dat er tenminste twee ballen met dezelfde kleur bij zitten?

Alvast bedankt voor het antwoord.
Met vriendelijke groeten

Joost van de Weijer
4-2-2003

Antwoord

Hallo,
Het aantal mogelijke resultaten is 19*19*19. Het aantal trekkingen met allemaal verschillende kleuren is minder: 19*18*17 want voor de eerste bal maakt het niet uit, de tweede bal mag alle kleuren hebben behalve die van bal 1, en de derde mag alle kleuren hebben behalve die van bal 1 of 2. De kans op drie verschillende kleuren is dus 19*18*17/(19*19*19)= 0,847645, dus de kans op minstens twee dezelfde kleuren is 1 - 0.847645 = 0.152355.

Als je het experiment 10 keer herhaalt, noem dan p de kans op drie verschillende kleuren, en q de kans op minstens twee dezelfde kleuren. De kans op 10 keer (drie verschillende kleuren) is p¹⁰. De kans op 9 keer (drie verschillende) is p⁹ * q * 10, want er zijn 10 mogelijke volgordes: qppppppppp, pqpppppppp, ppqppppppp,... Algemeen geldt dat : De kans op n keer (drie verschillende) = pⁿ * q^10-n * C(10,n) met C(10,n) = 10!/(n!*(10-n)!).

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-2-2003