WisFaq!

Dubbele integraal en poolcoördinaten

Bij het oplossen van een dubbele integraal en gebruik makend van poolcoordinaten wordt dx.dy omgezet in r.dr.dØ vanwege de jacobiaan. Doch wanneer ik uit de formules x=rcosØ en y=rsinØ de respectievelijke dx en dy bereken vind ik dat dx= CosØdr _ rsinØdØ. en dy=sinØdr +rcos ØdØ. Wanneer ik nu het product maak van dx en dy kom ik niet aan rdrdØ. Wat doe ik fout?

Raymaekers eddy
15-1-2014

Antwoord

Hoi Raymaekers,
Wellicht helpt onderstaande wat, zoals je zelf al zegt is het vanwege de Jacobiaan.

$
\begin{array}{l}
\int {\int {f(x,y)dxdy} } \\
x = r\cos (a) \Rightarrow \frac{{dx}}{{dr}} = \cos (a) \wedge \frac{{dx}}{{da}} = - r\sin (a) \\
y = r\sin (a) \Rightarrow \frac{{dy}}{{dr}} = \sin (a) \wedge \frac{{dy}}{{da}} = r\cos (a) \\
J = \left| {\begin{array}{*{20}c}
{\cos (a)} & { - r\sin (a)} \\
{\sin (a)} & {r\cos (a)} \\
\end{array}} \right| = r\cos ^2 (a) + r\sin ^2 (a) = r \\
\int {\int {f(x,y)dxdy} } = \int {\int {f(r\cos (a),r\sin (a)} } )\left| {\begin{array}{*{20}c}
{\cos (a)} & { - r\sin (a)} \\
{\sin (a)} & {r\cos (a)} \\
\end{array}} \right|drda \\
= \int {\int {f(r\cos (a),r\sin (a))rdrda} } \\
\\
\\
\end{array}
$

DvL
15-1-2014