WisFaq!

Raadselachtige rechthoeken

Wiske neemt een vierkant vel papier. Ze meet de oppervlakte van de omgeschreven cirkel en noemt het resultaat A. Daarna geeft ze het vel door aan Suske die het in kleine rechthoekige stukjes snijdt. Suske meet dan ook voor elk stukje de oppervlakte van de omgeschreven cirkel, hij telt deze getallen allemaal op en noemt het resultaat B.

Tot hun verbazing is A gelijk aan B. Wat kunnen zij of wij hieruit afleiden betreffende de vorm van de stukjes papier?

Alvast bedankt

Yentl
11-1-2014

Antwoord

Neem een vierkant met zijde z. Wat is dan de oppervlakte van de omgeschreven cirkel?

$
\eqalign{O = \pi \cdot \left( {\sqrt {\left( {\frac{z}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{z}{2}} \right)^2 } } \right)^2 = \frac{1}{2}\pi z^2}
$

Verdeel nu het vierkant in $m$×$n$ rechthoekjes. Wat is dan de oppervlakte van de omgeschreven cirkels van $m$×$n$ rechthoekjes?

$
\eqalign{O_{m \times n} = m \cdot n \cdot \pi \cdot \left( {\sqrt {\left( {\frac{z}{{2m}}} \right)^2 + \left( {\frac{z}{{2n}}} \right)^2 } } \right)^2 = \frac{{\pi z^2 \left( {m^2 + n^2 } \right)}}{{4mn}}}
$

De vraag is nu voor welke waarden van $m$ en $n$ zijn $O$ en $O_{m \times n}$ gelijk?

$
\eqalign{\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\pi z^2 = \frac{{\pi z^2 \left( {m^2 + n^2 } \right)}}{{4mn}} \\
z^2 = \frac{{z^2 \left( {m^2 + n^2 } \right)}}{{2mn}} \\
1 = \frac{{\left( {m^2 + n^2 } \right)}}{{2mn}} \\
m^2 + n^2 = 2mn \\
m^2 - 2mn + n^2 = 0 \\
(m - n)^2 = 0 \\
m = n \\
\end{array}}
$

Die rechthoekjes waren vierkanten.

Zie De raadselachtige rechthoeken [http://www.vub.ac.be/sites/vub/files/rekrutering/wiskunnendwiske/Wiskunnend%20Wiske_Opdracht3.pdf]

WvR
11-1-2014